二階系統方程的共性及參數對輸出響應的影響

3,列寫彈簧-質量-阻尼器機械運動系統在外力F（t）作用下，位移x(t)的運動方程；

質量M相對于初始位置的位移，速度，加速度分别為x(t),x(t)一階導數，x(t)二階導數；

根據牛頓運動定律：作用在物體上的力等于質量與加速度平方的乘積：

阻力方向與運動方向相反，大小與運動速度成比例，比例系數為f；

彈簧彈力方向與運動方向相反，大小與位移成正比，比例系數為K；

因此，彈簧阻尼系統的平衡方程為：

而RLC無源電路的二階微分方程為：

通過對比，他們之間存在共性問題，

彈簧系統中M代表控制對象的質量，質量越大，慣性越大，如果要獲得同樣的加速度，輸入力矩F(t)必定要跟着加大；使得質量M獲得更大的動能，動能随着質量的加大而加大；

RLC無源電路中，LC代表控制對象的容量值，獲得同樣大小的加速度電壓Uo，輸入電壓必定要跟着加大，使得LC存儲的能量在加大；

因此，他們對能量的需求是獲得同樣的加速度信号輸出，必須要給定更大的輸入能量；而當輸入信号不變的情況下，質量M小或LC小的系統可獲得更大的加速度信号輸出；

而彈簧的阻尼系數f越大，相應的物體運動速度越慢，使得系統的暫态分量的震蕩幅度越小。RLC電路中電阻R的作用相當于阻尼系數f，當電阻值越大，電壓Uo的增加速度越慢，使得系統暫态分量的震蕩幅度越小；

因此，當二階系統處于衰減震蕩工作過程時：

1， 彈簧所懸挂的物體質量越大，物體的慣性越大，同等參數下，物體的震蕩頻率越低，同樣，RLC系統中，電感和電容乘積越大，他們的慣性時間越大，同等參數下，電感和電容存儲的總能量越大，相應的電壓和電流的震蕩頻率越低，對應的響應時間就比較慢，這是由于系統的慣性時間大決定的，M和LC是加速度的系數，當方程處于動态平衡狀态時，加速度系數越大，對應的加速度值就越小，表現在物理過程上就是輸出響應運動加速度慢，響應時間長。

2， 彈簧系統中，阻尼系數f越大，同等參數下，物體反向作用力越大，相應的物體位移的震蕩衰減越大，同樣，RLC系統中，電阻R越大，LC震蕩電路中的電流和電壓衰減越快，極限情況下，當R=0時，LC中的電壓和電流處于同頻等幅震蕩過程，當R=∞時，LC中的電流和電壓震蕩幅值為0，同等參數下，電阻R值越大，對應的LC電壓和電流震蕩衰減越大，f和R是速度的系數，當方程處于動态平衡時，速度系數越大，相應的速度值越小，表現在物理過程上就是輸出震蕩幅值越小，當R趨于∞時，輸出不發生震蕩；

當系統輸入為單位階躍信号時，輸出響應波形：

同等條件下，質量M大或LC儲能大的系統輸出響應震蕩頻率低，輸出響應時間長；阻尼f大或電阻R大的系統，輸出響應震蕩衰減速度快，震蕩幅度低；

在實際工程中，就是通過對控制對象的型别和參數進行控制，最常用的控制方式為PID控制，通過控制系統輸出震蕩頻率提高，使得系統的響應時間縮短，通過增大系統阻尼比，使得輸出響應震蕩衰減幅度降低，從而獲得需要的輸出響應參數，響應速度快同時震蕩幅度小；

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