平面體是由若幹個平面所圍成的幾何體。

常見的平面體有棱柱、棱錐和棱台，如圖1-59所示。

圖1-59　平面體

①平面體三視圖的畫法

a.棱柱體。棱柱體有直棱柱或稱正棱柱（側棱與底面垂直）和斜棱柱（側棱與底面傾斜）之分，本節隻介紹直棱柱。

如圖1-59所示，直棱柱的形體特點是兩個底面為全等且相互平行的多邊形，各側棱垂直底面且相互平行，各側面均為矩形。底面是直棱柱的特性面，反映了該直棱柱的形狀特征。底面是幾邊形（或某形狀），即為幾棱柱（或某棱柱）。圖1-59（a）為直三棱柱；圖1-59（b）所示形體底面為六邊“﹂”形，稱為直六棱柱或﹂形棱柱。

同一棱柱，在三投影面體系中放置位置不同，其三面投影也不相同。為了使投影簡單易懂，常将棱柱的底面和主要棱面平行于投影面放置，如圖1-60所示為正六棱柱的三視圖。

正六棱柱由八個面圍成，其中上下兩個底面為全等且平行的正六邊形，六個側面為相同的矩形。在三個投影面體系中的擺放位置是上下底面為水平面，前後側面為正平面，如圖1-60（a）所示。

圖1-60　六棱柱體的投影

該六棱柱的H面投影為正六邊形，是體上八個面的投影，其中六邊形為平行于H面的上下底面的重合投影，且反映實形，六邊形的邊是六個側面的積聚投影；六個頂點是六條棱線的積聚投影。

V面投影為三個矩形線框，包括形體上八個面的投影，中間的矩形為前後兩個側面的重合投影，且反映實形；左右矩形線框為其餘四個側面的重合投影，由于四個側面均為鉛垂面，其V面投影為類似形；V面投影中上下邊線是兩個底面的積聚投影。側面投影同理，讀者可自行分析。

畫投影圖時，一般先畫反映棱柱底面實形的特征投影，然後再根據投影關系和柱高畫出其他投影。

特别提醒：

畫圖時“寬相等”的關系往往容易搞錯，故在圖1-60中過原點畫一條45°斜線，有助于掌握“寬相等”的關系。

六棱柱三視圖的作圖步驟如圖1-60［（a）、（b）、（c）］所示。

同理分析，可畫出圖1-61所示各直棱柱的三視圖，圖中虛線表示棱柱體的不可見棱線。

圖1-61　棱柱體的三視圖

從這些例圖中可以看出，直棱柱三視圖的圖形特征是：一個投影為多邊形（特征圖），是底面實形，反映直棱柱的形狀特征，另兩個投影的外框都是矩形。

b.棱錐體。如圖1-59（c）所示，棱錐的形體特點是底面為多邊形，側棱面為三角形，側棱都交于一點（錐頂）。圖1-62為四棱錐的三視圖。該四棱錐由五個面圍成。底面為長方形，四個側面均為三角形，四側棱彙交與一點。把四棱錐放在三投影面體系中，使底面平行于H面，左右側面垂直于V面，前後側面垂直于W面，如圖1-62（a）所示。

圖1-62　棱錐的投影

四棱錐的H面投影是含有四個三角形的四邊形，為特征投影。四邊形為底面實形，四個三角形是側棱面在該投影面上的類似形投影，與底面投影重合，中點為錐頂的投影。

V面投影為三角形線框，包含了棱錐上五個面的投影。三角形的底邊為底面的積聚投影；兩腰為左右側面的積聚投影；兩腰的交點為錐頂的投影；三角形為前後棱面的重合投影。由于前後兩個棱面均為側垂面，則V面投影為類似形。側面投影同理，讀者可自行分析。

畫圖時，一般先畫反映棱錐底面實形的特征投影，然後再根據投影關系和錐高畫出其他投影。四棱錐三視圖的作圖步驟如圖1-62［（b）、（c）、（d）］所示。

同理分析，可畫出如圖1-63所示三棱錐的三視圖。

圖1-63　三棱錐的三視圖

從以上兩例可以看出，棱錐三視圖的圖形特征是一個投影外框是多邊形，是底面實形，其内有數條彙交于一點的直線，反映棱錐的形狀特征；另兩個投影的外框都是三角形。

c.棱台。如圖1-59（d）所示，棱台的形體特點是兩個底面為大小不同、相互平行且形狀相似的多邊形。各側面均為等腰梯形。

圖1-64為一四棱台的三視圖，其畫法思路同四棱錐。其畫圖步驟和圖形特征讀者可自行分析。

圖1-64　四棱台的三視圖

特别提醒：

畫每個視圖都應先畫上、下底面，然後畫出各側棱。

②平面體三視圖的識讀。

平面體三視圖的識讀，就是根據其三視圖的圖形特征想象出立體空間形狀的過程。

由上述平面體三視圖的畫圖和分析可知，在三視圖中，如果其中有兩個視圖是矩形，所表示的形體一定是棱柱體，對應的第三視圖中，其多邊形是什麼形狀就是什麼棱柱體；如果其中兩個視圖的外框是三角形，第三視圖為多邊形線框，所表示的形體一定是錐體；如果兩個視圖為梯形線框（最外輪廓），所表示的形體一定是棱台，對應的第三視圖是幾邊形就是幾棱台。

特别提醒

無論是完整的還是局部的平面體的三視圖都具有此圖形特征。

例：識讀如圖1-65所示平面體的三視圖。

圖1-65　平面體三視圖的識讀

圖1-65（a）所示三視圖中，水平投影和側面投影外框是矩形，該形體是棱柱，正面投影是特征投影，形狀為“凸”字形，即底面實形。故該形體為“凸”形柱。空間形狀如圖1-66（a）所示。

同理，可分析圖1-65［（b）、（c）］所示三視圖均為棱柱體，其空間形狀如圖1-66［（b）、（c）］所示

圖1-66　平面體的立體圖

如圖1-65（c）所示三視圖中，正面投影和水平投影外框都是三角形，其形體是錐體，側面投影為特征圖，外框是四邊形，由此可知該體是錐尖向左、底面平行于側面的四棱錐，其空間形狀如圖1-66（d）所示。

如圖1-65（e）所示三視圖中，正面投影和側面投影外框為梯形，其形體為台體。水平投影為特征圖，外框是1/2四棱台的底面形狀。由此可知該體為右半四棱台，其空間形狀如圖1-66（e）所示。

同理可分析圖1-65（f）所示三視圖的形體是1/4四棱台，其空間形狀如圖1-66（f）所示。

③平面體表面取點。在平面體表面取點，其方法與在平面内取點的方法相同。由于平面體是由若幹個平面圍成的，所以在平面體表面取點時，應該注意分析點在平面體的哪個表面内。點的投影應在該表面的同面投影上。如果點所屬表面的投影可見，則點的投影也可見，反之為不可見。

曲面體中最常用的是圓柱、圓錐和球體。

①圓柱體的投影。

圓柱是由圓柱面和頂、底面圍成的。圓柱面可看成是由一條直線繞與之平行的軸線旋轉而成的。這條直線稱為母線，圓柱面上任意一條平行于軸線的直線稱為素線。如圖1-69（a）所示的圓柱，其軸線垂直于水平面，此時圓柱面在水平面上投影積聚為一圓，且反映頂、底面的實形，同時圓柱面上的點和素線的水平投影也都積聚在這個圓周上；在V面和W面上，圓柱的投影均為矩形，矩形的上、下邊是圓柱的頂、底面的積聚性投影，矩形的左、右邊是圓柱面上最左、最右、最前、最後素線的投影，這4條素線是4條特殊素線，是可見的左半圓柱面和不可見的右半圓柱面、可見的前半圓柱面和不可見的後半圓柱面的分界線，也可稱它們為轉向輪廓線，其中在正面投影上，圓柱的最前素線CD和最後素線GH的投影與圓柱軸線的正面投影重合，所以不畫出，同理在側面投影上，最左素線AB和最右素線EF也不畫出。由以上分析可得如圖1-69（b）所示的三視圖。

圖1-69　圓柱體的投影

由此可見，作圓柱的投影圖時，先用細點畫線畫出三視圖的中心線和軸線位置，然後畫投影為圓的視圖，最後按投影關系畫其他兩個視圖。

②圓錐體的投影。

圓錐是由圓錐面和底面組成。圓錐面可看成是由一條線繞與之相交的軸線旋轉而成的。這條直線稱為母線，圓錐面上通過頂點的任一直線為素線。如圖1-70（a）所示的圓錐，其軸線垂直于水平面，此時圓錐的底面為水平面，它的水平投影為一圓，反映實形，同時圓錐面的水平投影與底面的水平投影重合且全為可見；在V面和W面上，圓錐的投影均為三角形，三角形的底邊是圓錐底面的積聚性投影，三角形的左、右邊是圓錐面上最左、最右、最前、最後素線的投影，這四條特殊素線的分析方法和圓柱一樣。由以上分析可得如圖1-70（b）所示的三視圖。

圖1-70　圓錐體的投影

由此可見，作圓錐的投影圖時，先用細點畫線畫出三視圖的中心線和軸線位置，然後畫底面圓和錐頂的投影，最後按投影關系畫出其它兩個視圖。

③球體的投影。

圓球是由球面圍成的。球面可看成是由一條圓母線繞它的直徑旋轉而成的。如圖1-71（a）所示的球體，其三面投影都是與球直徑相等的圓，但這三個投影圓分别是球體上三個不同方向轉向輪廓線的投影。正面投影是球體上平行于V面的最大的圓A的投影，這個圓是可見的前半個球面和不可見的後半個球面的分界線，其水平投影和側面投影分别與相應的中心線重合，所以不畫出，同理水平投影是球體上平行于H面的最大的圓B的投影，而側面投影是球體上平行于W面的最大的圓C的投影，分析方法同圓A一樣。由上分析可得如圖1-71（b）所示的三視圖。

圖1-71　球的投影

由此可見，作球體的投影圖時，隻需先用細點畫線畫出三視圖的中心線位置，然後分别畫三個等直徑的圓即可。

④曲面立體投影圖的尺寸标注。對于曲面立體的尺寸标注，其原則與平面立體基本相同。一般對于圓柱、圓錐應注出底圓直徑和高度，而球體隻需注其直徑，但在直徑數字前面應加注“Sф”。具體如圖1-72所示。

圖1-72　曲面立體投影圖的尺寸标注示例

4、曲面立體表面上求點和線

a.圓柱體表面上求點和線。在圓柱體表面上求點，可得圓柱面的積聚性投影來作圖。如圖1-73所示，已知圓柱面上有一點A的正面投影a′，現在要作出它的另兩面投影。由于a′是可見的，所以點A在左前半個圓柱面上，而圓柱面在H面上的投影積聚為圓，則A點的水平投影也在此圓上，所以可由a′直接作出a，再由a′和a求得a″，由于A點在左前半個圓柱面上，所以它的側面投影也是可見的。

圖1-73　圓柱體表面上求點

求圓柱體表面上線的投影，可先在線的已知投影上定出若幹點，再用求點的方法求出線上這若幹點的投影，并判别可見性即為圓柱體表面上求線的作法。

b.圓錐體表面上求點和線。由于圓錐面的三個投影都沒有積聚性，所以求圓錐面上點的投影時必須在錐面上作輔助線，輔助線包括輔助素線或輔助圓。

如圖1-74所示，已知圓錐面上的點A、B、C的正面投影a′b′c′，現在要作出它們的另兩面投影。

圖1-74　圓錐體表面上求點

a輔助素線法。如圖1-74（a）所示，點B和點C的正面投影一個在最右素線上，一個在底面圓周上，均為特殊點且可見，所以直接過b′、c′作OX軸的垂線即可得b、c，進而可求得b″、c″，且B、C都在右半個錐面上，所以b″、c″均為不可見。A點在圓錐面上，所以過a′作素線s1的正面投影s′1′，求出素線的水平投影s1和側面投影s″1″，過a′分别作OX軸與OZ軸的垂線交s1、s″1″于a、a″，即為所求由于圓錐面在H面上的投影均為可見，所以a也為可見，而由于a′可見，可知A點在圓錐面的左前方，則其側面投影也是可見的。

b輔助圓法。如圖1-74（b）所示，過a′作一垂直于圓錐軸線的平面（水平面），這個輔助平面與圓錐表面相交得到一個圓，此圓的正面投影為直線1′2′，其水平投影是與底面投影圓同心的直徑為1′2′的圓，由于a′是可見的，所以A點在前半個輔助圓上，那麼a也必在輔助圓的前半個水平投影上，所以過a′作OX軸垂線交輔助圓于a點，再由a′和a求得a″，也由于a在左前方，所以a″也是可見的。

而圓錐體表面上求線的方法和圓柱的相同。

c.球體表面上求點和線。由于球面的各面投影都無積聚性且球面上沒有直線，所以在球體表面上求點可利用球面上平行于投影面的輔助圓來解決。

如圖1-75所示，已知球面上點A的正面投影a′，現在要作出其另兩面投影。過A點作一個平行于水平面的輔助圓，即在正面投影上過a′作平行于OX軸的直線，交圓周于1′、2′，此1′2′即為輔助圓的正面投影，共長度等于輔助圓的直徑，再作此輔助圓的水平投影，為一與球體水平投影同心的圓，由于a′可見，所以可知A點在球體的左前上方，那麼A點在水平面上的投影也可通過a′作OX軸的垂線，交輔助圓的水平投影于a得到，且a為可見，再由a′和a求出a″，同理A點在左側，所以a″也可見。當然也可通過A點作平行于正面或側面的輔助圓，方法同上。

圖1-75　球體表面上求點

球體表面上求線的方法和圓柱的也相同。

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