本文為“第三屆數學文化征文比賽

探尋單位“1”下的直觀模型

——讀《度量：一首獻給數學的情歌》有感

作者: 周光平

作品編号：052

去年參加了第二屆數學文化征文活動，筆者得到了人民郵電出版社「美」保羅·洛克哈特寫著王淩雲譯的贈書《度量：一首獻給數學的情歌》。出于對書名中“情歌”的好奇，筆者一口氣就讀完了這本圖書。

毫無疑問，市面上顯然有各類各樣度量方面的教材和科普書。張奠宙先生在《小學數學教材中的大道理》說，測量過程的本質一樣，數學測量的本質是給每一個線段一個合适的數，面積是一個數。史甯中教授在《小學數學基本概念和運算法則》中對三者的刻畫是：長度是一維空間圖形的度量，面積是二維圖形的度量，體積是三維圖形的度量。這三種度量的基礎是直線段的長度，直線段長度的基礎是兩點間的直線距離。因此度量必須确定度量單位，所謂的度量就是：計算所要度量圖形所包含多少個度量單位。面積和體積度量單位的基礎是一維空間的長度單位，這個長度單位是人為規定。但是，本書的閱讀給了我新的認識，度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具。度量的目标是在探尋單位“1”下的直觀模型，尋求中比例、想象和探索竟是如此之重要。

比例，讓探尋之路有了着力點。

無論長度、還是面積、體積，數學意義上度量的本質是一樣的，都是對圖形大小根據度量法則賦予一個非負數，這個數沒有物理意義上的單位，用什麼單位都不重要，重要的是必須有數學上的單位1。所有的圖形的度量都需要給定一個度量單位，然後用這個度量單位1去鋪這些圖形，度量的結果就是求這個圖形能用多少個（一個非負數）度量單位1把這個圖形鋪滿，這個數就是度量結果。這個結果其實就是一個“相對比例”而已，選擇不同的“尺子”可能會得到不同的一個數，但按比例縮放後對角度不會造成影響，對形狀不産生影響。這可以讓我們所聚焦的問題暫時忽略掉大小問題，可以将同一“形狀”裝在不同人的大腦裡，不同的大腦在研究時都能能抓住本質聚焦于同一個穩定的模型。數學世界就是這個不從屬于世俗和武斷的模型世界，這個世界裡的模型就像一首首空靈的歌，是數學最有吸引力的情歌。

書中的模型很多，最易于我們理解就是正方形這一概念模型。在尋求這一模型中，我們是在不斷地進行構造：四邊——相等的四邊——四個直角和相等四邊，有了這樣的約束後，形狀就有了唯一性，就可以導出重要的推論，而這些推論不會因為正方形的大小而改變。事實上，這樣一個單位1下的數學直觀模型因為有了充分的約束後，其“數學的本質力量”就會控制它自己的所有行為。例如把正方形的邊長作為單位1，那大小不一的正方形周長必然是它邊長的四倍，即可記為4。有了這個本質的發現，那正方形的周長、面積等的度量也就是一個數的賦予而已了，度量任何它相似的圖形就僅取決于一個比例系數。因此，比例讓我們在探尋單位1下的數學直觀模型時，有利于我們聚焦問題的本質，有利于我們找到研究圖形結構的着力點，有利于展示這個直觀模型的數學真正力量。

想象，讓探尋之路有了靈魂。

如果物理現實是帶給我們濃厚的興趣是因為“揭秘”，那數學世界帶給我們的就是抽象了的“想象”；所有物理上的度量因為工具都是粗略近似的，而數學上的度量卻因為是單位“1”下的直觀而精确。想象就是在最嚴格的邏輯缜密标準下探尋形狀、運動等為表達現實所需精簡模型的不斷嘗試，這正像是在創作一首可供欣賞的歌，一首數學最藝術的情歌。

想象，在不斷嘗試中的發現都會個個是創意。當我們拿着一把直尺去度量一個長方形的對角線的長度時，你或許體驗不到任何驚喜。但是，當我們把對角線的長度和兩條邊的長度聯系起來後，通過論證發現這裡竟然隐藏着“神秘”規律——畢達哥拉斯定理，而且與你用直尺測量對角線長度的結果和用定理得到的結果是一樣的，那可不得了，這真是一個驚喜。可見，這條對角線的長度不會因為我們的測量而變化，因為它一直都在那；因此，我們用規律度量不僅可以甩開工具的約束，而且得到的結果比用工具得到的結果更準确。這樣，我們特别要關注的就隻剩下如何讓人理解“這個結果為什麼是最準确的？”這個問題，或者說，度量得到結果不是最為重點，而是怎樣得到結果才是重點，才有驚人的魅力。為了這個目的，我們在度量的路上努力地想象、論證和構造新模型。在這個過程中我們發現了無法用工具測量的對角線長度，甚至類比遷移到三維的長方體對角線長度的精美模型是。精美模型的創造就是想象和推理的結果，是洞察力和創造力的完美體現，是探尋路上的靈魂。

當想象遇到推導後，看到的數學就會處處是驚喜。書中在發現面積和體積的精美模型時，完全區别于課标下的教材，從單位正方形不同方向的拉伸系數a和b的變化得到了長方形的面積公式a×b。用一個長方形盒子将三角形圍在其中，直觀地看到拉伸變化過程中隻有一個方向的拉伸系數在變，從而發現三角形的面積是×a×b。用一個圓把正多邊形圍在其中，随着邊數n的無限增大，正多邊形的面積×h×a×n(a為邊長)就會因h=r,na=C而必然會等于圓的面積rC。設想一個棱錐體放到一個底面相同、高度相等的盒子裡，根據棱錐體占整個盒子多大比例可以推導出V，再推導到V；還可以進一步展開想象得到圓錐體的體積，一般化後還得到古老漂亮的卡瓦列裡原理；再推理得到連接立方體六個面的中心點形成的八面體體積是這個立方體體積的，鍊接六個面上的對角線形成的正四面體的體積是它的，以及球的體積、圓缺、圓環體體積等等一個個美妙的度量，這個探尋的旅程實在是太美妙了，這種美妙就是一首首數學的情歌，沁人心扉。

探索，讓探尋之路有了魅力。

當想象給了我們無限可能之後發現，數學在探尋單位1下的精美模型時，直覺和推理結合就是探索的精髓，是展示探尋魅力之所在。數學是一種典型的人類智力活動，她的工作原理就是探索模型，探索的旅程就是語言、模型、好奇、快樂交彙的地方，是一個免費自私的娛樂場。在這個場裡不斷積累思維活動經驗，經過獨立思考，不斷學會思考，通過類比推理等思維方式，發現并提出了一系列新的問題，甚至是創造性的問題和模型，不斷拓展數學思考的深度、廣度和高度。探尋路上，如果我們找到了探尋方法，那原來看起來單調乏味的數學知識也會處處發現奇妙之處，此時就綻放出數學思考的無窮魅力，這種魅力就像一首美妙的歌，一首數學最動聽的情歌，全書的每個主題基本上都是在奏響一曲曲和諧的交響樂！

從特殊到一般的探索，幫我們不斷打破了認識數學直觀模型的邊界。印象最深的是書中對三角形的邊角關系探究中，把特殊的直角一般化為任意角，遵循追求對稱的直觀模型，畢達哥拉斯定理就推廣到了廣義的畢達哥拉斯定理cosC。如果再展開一系列的想象和推理，發現更多的直觀模型，如正弦定理、海倫公式等，完美的度量三角形就隻是一個求值問題而已。如果再遷移到三維的多面體，把多面體分割為不同的四面體，再用三角形度量，那又隻是個正餘弦問題了。從靜态到動态的探索，幫我們不斷深化了認識數學直觀模型的維度。如果大圓面積減去小圓面積來得到圓環面積是靜态思考，那我們換一種思考，可以将圓環看成由一根樹枝沿着圓形路徑清掃一周的面積

數學的魅力就是在探索中展示出這些驚奇的想象力、洞察力、創造力，就是一次次體驗到迷人的無數奧秘與激動發現，征服了曾經遇到艱難的數學問題所帶來的快感，就是在領悟到深邃數學思想時的那種享受，就是在一次又一次興奮地投入到新的探索中去尋找和創造美麗的數學直觀模型的那種快樂激情。當然，在探索得到優美的、隽永的數學直觀模型中也總會遇到困難重重、令人沮喪的時候，象所有數學家一樣遇到再熟悉不過的“被困住”，有人大多時候還都處在這個狀态中。但探尋路上，當數學的探索不再受到工具的限制，物理現實的約束，可以自由的、私自的在渴望理解、滿懷好奇中去展開想象、挑戰構思時，那探索就能讓人深深陶醉、流連忘返。當你懷揣着解開千古之謎的信念去猜想嘗試，那想法就會越來越豐富、越來越成熟，就會象有經驗的數學家一樣對結構、對模型很敏感，那激動的心情和驚喜也就不遠了。

數學就是一直在探尋單位1下的直觀模型，探尋之所以會一次次返回到從頭開始想象、猜測、探究數學本質的力量、積聚探索的動力，就是因為探索過程象一條沒有盡頭的河流旅程，不管最後會否迎來驚喜，沿途總是充滿着美麗和樂趣。我們還是希望自己能早點體驗到這種樂趣，希望數學教材和科普類的書能降低年齡層去接受到這種樂趣。這需要我們像作者保羅·洛克哈特一樣不斷去傳遞熱愛數學的緣由，激發和激勵孩子們應有的好奇心，幫助和引導孩子們投身到這個迷人的探尋之旅中。

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