老黃這次要分享的這道高等數學利用洛必達法則解不定式極限的例題，解題過程中會出現好幾次轉換，而且轉換的方向可能不隻一種，如果選錯了方向，就有可能走進死胡同。不信我們一起來做做看。題目是這樣的：

設f(0)=0, f’在原點的某鄰域内連續，且f’(0)=0, 證明：lim(x->0 )x^(f(x))=1.

分析：這是一個0的0次方型不定式極限。一般都是利用對數法對它進行轉換的。就是取e^ln(原極限)的形式。然後交換"ln"和"lim"的符号位置。這是複合函數求極限的法則運用。從而得到極限e^(lim(x->0 )lnx^f(x)).

我們可以先求e的指數這個極限。先把自然對數中真數的指數前提做自然對數的系數，就得到了一個0乘無窮大型的不定式極限lim(x->0 )f(x)lnx.

解0乘無窮大型不定式極限有兩種方法，一種是取0的倒數1/f(x)，得到無窮大比無窮大型的不定式極限lim(x->0 )lnx/(1/f(x))；一種是取無窮大的倒數1/lnx，得到0比0型的不定式極限lim(x->0 )f(x)/(1/lnx)。假如你選擇後者的話，這道題就有可能解不出來了。過程如下：

lim(x->0 )f(x)/(1/lnx)=lim(x->0 )f’(x)/(1/(x(lnx)^2)). 這裡運用了洛必達法則，發現結果仍是一個0比0型的不定式極限，不過反而變得更複雜了。它既無法直接得到答案，也沒辦法再繼續運用洛必達法則了。因為我們并不能确定f(x)在0的鄰域内二階可導。

所以正确的方法應該選擇把它轉化成無窮大比無窮大型的不定式極限。然後運用洛必達法則，化簡可以得到極限-lim(x->0 )(f(x))^2/(xf'(x)). 這裡有一點非常關鍵。因為f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)f(h)/h，所以lim(x->0)f(x)/x=f'(0)=lim(x->0 )f(x)/x, 隻是變量由h變成x，不影響導數定義公式的本質。又f'(x)在x=0是連續的，所以f'(0)=limf'(x)，所以上面的極限可以化為-lim(x->0 )f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0 )f(x)=f(0)=0.

再把這個極限的結果代入e的指數，就可以證明原極限等于1了。下面組織解題過程：

解：因為u=im(x->0 )lnx^f(x)=lim(x->0 )f(x)lnx=lim(x->0 )lnx/(1/f(x))

=-lim(x->0 )(1/x)/(f'(x)/(f(x))^2)=-lim(x->0 )(f(x))^2/(xf'(x))

=-lim(x->0 )f'(x)f(x)/f'(x)=-lim(x->0 )f(x)=f(0)=0.

所以lim(x->0 )x^(f(x))=e^u=e^0=1.

大家覺得這道題和這個解法怎麼樣呢？歡迎在評論區中留下您的看法！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!