前面我們講到除法中被除數和除數的整除問題.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3 1.此時，被除數除以除數出現了餘數，我們稱之為帶餘數的除法。

　　一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0），那麼一定有另外兩個整數q和r，0≤r＜b，使得a=b×q r。

　　當r=0時，我們稱a能被b整除。

　　當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的餘數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶餘除式又可以表示為a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一個兩位數去除251，得到的餘數是41.求這個兩位數。

分析 這是一道帶餘除法題，且要求的數是大于41的兩位數.解題可從帶餘除式入手分析。

　　解：∵被除數÷除數=商…餘數，

　　即被除數=除數×商 餘數，

　　∴251=除數×商 41，

　　251-41=除數×商，

　　∴210=除數×商。

　　∵210=2×3×5×7，

　　∴210的兩位數的約數有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于餘數41.所以除數是42或70.即要求的兩位數是42或70。

例2 用一個自然數去除另一個整數，商40，餘數是16.被除數、除數、商數與餘數的和是933，求被除數和除數各是多少？

　　解：∵被除數=除數×商 餘數，

　　即被除數=除數×40 16。

　　由題意可知：被除數 除數=933-40-16=877，

　　∴（除數×40 16） 除數=877，

　　∴除數×41=877-16，

　　除數=861÷41，

　　除數=21，

　　∴被除數=21×40 16=856。

　　答：被除數是856，除數是21。

例3 某年的十月裡有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？

　　解：十月份共有31天，每周共有7天，

　　∵31=7×4 3，

　　∴根據題意可知：有5天的星期數必然是星期四、星期五和星期六。

　　∴這年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回數（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？

　　解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），

　　從星期日往回數5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5 一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求适合此條件的最小數。

　　這是一道古算題.它早在《孫子算經》中記有：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”

　　關于這道題的解法，在明朝就流傳着一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的餘數乘以70，用除以5的餘數乘以21，用除以7的餘數乘以15，再把三個乘積相加.如果這三個數的和大于105，那麼就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：

　　方法1：2×70 3×21 2×15=233

　　233-105×2=23

　　符合條件的最小自然數是23。

例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：

　　方法2：[3，7] 2=23

　　23除以5恰好餘3。

　　所以，符合條件的最小自然數是23。

　　方法2的思路是什麼呢？讓我們再來看下面兩道例題。

例6 一個數除以5餘3，除以6餘4，除以7餘1，求适合條件的最小的自然數。

分析 “除以5餘3”即“加2後被5整除”，同樣“除以6餘4”即“加2後被6整除”。

　　解：[5，6]-2=28，即28适合前兩個條件。

　　想：28 [5，6]×？之後能滿足“7除餘1”的條件？

　　28 [5，6]×4=148，148=21×7 1，

　　又148＜210=[5，6，7]

　　所以，适合條件的最小的自然數是148。

例7 一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4，求符合條件的最小自然數。

　　解：想：2 3×？之後能滿足“5除餘3”的條件？

　　2 3×2=8。

　　再想：8 [3，5]×？之後能滿足“7除餘4”的條件？

　　8 [3，5]×3=53。

　　∴符合條件的最小的自然數是53。

　　歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當找到滿足某個條件的數後，為了再滿足另一個條件，需做數的調整，調整時注意要加上已滿足條件中除數的倍數。

　　解這類題目還有其他方法，将會在有關“同餘”部分講到。

例8 一個布袋中裝有小球若幹個.如果每次取3個，最後剩1個；如果每次取5個或7個，最後都剩2個.布袋中至少有小球多少個？

　　解：2 [5，7]×1=37（個）

　　∵37除以3餘1，除以5餘2，除以7餘2，

　　∴布袋中至少有小球37個。

例9 69、90和125被某個正整數N除時，餘數相同，試求N的最大值。

分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：

　　15除以2餘1，19除以2餘1，

　　即15和19被2除餘數相同（餘數都是1）。

　　但是19-15能被2整除.

　　由此我們可以得到這樣的結論：如果兩個整數a和b，均被自然數m除，餘數相同，那麼這兩個整數之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果兩個整數之差恰被m整除，那麼這兩個整數被m除的餘數一定相同。

　　例9可做如下解答：

　　∵三個整數被N除餘數相同，

　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，

　　∴N是21和35的公約數。

　　∵要求N的最大值，

　　∴N是21和35的最大公約數。

　　∵21和35的最大公約數是7，

　　∴N最大是7。

習題四

　　1.用一個自然數去除另一個自然數，不完全商是8，餘數是16.被除數、除數、商、餘數這四個數的和為463，求除數。

　　2.某數除以3餘1，除以4餘2，除以5餘3，除以6餘4，這個數最小是多少？

　　3.某數除以8餘3，除以9餘4，除以12餘7，在1000以内這樣的數有哪幾個？

　　4.用卡車運貨，每次運9袋餘1袋，每次運8袋餘3袋，每次運7袋餘2袋.這批貨至少有多少袋？

　　5.57、96、148被某自然數除，餘數相同，且不為零.求284被這個自然數除的餘數.

習題四解答

　　1.除數為47。

　　2.58。

　　3.共13個.有：67，139，211，283，355，427，499，571，643，715，787，859，931。

　　4.163。

　　5.11.

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