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各位數學高手幫幫忙解幾道題

生活更新时间:2025-01-18 14:59:08

在今天的故事開始之前，建議大家先閱讀我之前寫的前三篇文章做鋪墊，防止今天的知識點變得突兀和難以理解。

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）1

今天，我們繼續來講級數，話不多說，讓我們看一個有趣的問題：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）2

首先咱們說一下這個n帶個感歎号是什麼意思：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）3

我們n帶個感歎号稱為n的階乘，非常簡單，咱們看一下上面這個運算就明白了。

當然這裡還要個特例，大家要注意一下，它就是個人為定義的運算符号，沒必要在意為什麼。

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）4

我們的本能是想知道上面那個級數的得數是多少，然而級數複雜之處就在于：你應該先判斷它是收斂還是發散的再算也不遲，否則極有可能無功而返。（想了解收斂和發散，建議大家先看我的第一篇文章）

于是，我們又要進行數學分析了：

我們把這個問題寫得專業一下：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）5

我們要研究一下更加廣泛的幂級數形式，來研究它的收斂半徑R是多少，這一就把上面這個問題從特殊情況轉化成一般情況了：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）6

拓展成幂級數，從特殊到一般

怎麼求這個收斂半徑呢,請出大數學家達朗貝爾來描述這個問題。

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）7

達朗貝爾

達朗貝爾說道，我有一個定理，能幫你求出收斂半徑R：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）8

達朗貝爾定理

于是，我們直接用上這個公式，進行計算：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）9

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）10

我們把p倒過來，它就是收斂半徑R：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）11

這啥意思呢：這個幂級數收斂半徑R無窮大啊，說明它處處收斂，我們令x=1，自然又回到了之前的那個等式，這就從一般又回到了特殊，也就是我們的實際情況：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）12

上面啰嗦了一大堆，我們終于證明了上面這個級數是收斂的，它趨于一個定值。那麼就簡單了，老辦法，我們直接上軟件兒算：

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）13

我們發現，這個結果趨于1.71828182846......

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）14

1.71828182846......有什麼數學意義呢？它能用分數表示嗎，歡迎大家留言讨論~

各位數學高手幫幫忙解幾道題（一個簡單的求和問題）15

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