直線與圓切線長最小值-tft每日頭條

直線與圓切線長最小值

圖文更新时间:2024-11-27 00:22:36

與圓錐曲線相關的切線問題是高考中的常見題型了，如何設點，如何快速寫出切線方程以及與抛物線有關的切線常見結論已經在公衆号中出現多次了，文末也會給出相關的擴展鍊接，近期遇到一個這樣的題目，如下：

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）1

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）2

很顯然題目中的變量是R，在直角三角形OAB中，隻需用R表示出OB的長度即可，設切線為y=kx m，求出點B的坐标，坐标中含有k,m，再轉化為隻含有R的坐标即可，用勾股定理求出AB的最大值，題目不難，過程如下：

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）3

上題中，當存在k,m,R三個變量時，線段的長度最大值為一個常數，雖然三個變量可轉化為一個變量，最值是根據不等式得來，但本題目中a=2,b=1，最大值為1，正好是a-b的值，其實本題的原型題目是2014年浙江的高考題，關于線段距離的最大值為a-b的證明過程如下：

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）4

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）5

題目和上題類似，隻是不是以同心圓的形式給出的，第一問表示點P的坐标方法可與上題相同，也可根據橢圓的切線方程來求出l的斜率，再聯立橢圓方程即可。

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）6

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）7

顯然求出切線斜率再聯立橢圓方程更加簡單，但不可出現在大題的步驟中，第一問已經表示出點P的坐标，直接利用點到直線的距離即可表示出線段的長度。

直線與圓切線長最小值（小知識之同心橢圓和圓公切線段長度問題）8

以後可作為一個二級結論來使用，與解析幾何中切線有關的内容如下：

圓錐曲線中的雙切線問題整理

思維訓練37.抛物線中的切線問題

圓的切點弦方程的求法

蒙日圓與圓錐曲線結合的小應用

考慮到讀者閱讀時長問題，以後的更新以短篇為主，盡量做到日更。

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