這是高等數學關于微分中值定理的一道題目。微分中值定理包括羅爾中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并稱三大微分中值定理。其中羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理則是拉格朗日中值定理的拓展。
下面這道題，很容易讓人想到柯西中值定理的應用，而且解起來似乎特别簡單，但是如果真的運用了柯西中值定理，卻正好跳進題目的陷阱，造成連自己都很難發現的錯誤。我們直接看題吧：
已知函數f在[a,b]上可導. 證明：存在ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ).
分析：如果我們把等式改寫成：f'(ξ)/(2ξ)=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)。你應該馬上會發現，這就是函數f(x)和x^2的柯西中值定理公式形式。因此很容易想到下面的解法：
錯誤解法：記g(x)=x^2, 則g’(x)=2x,
f, g在[a,b]上符合柯西中值定理的條件，
∴存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2),
從而有(b^2-a^2)f’(ξ)=g’(ξ)[f(b)-f(a)]=2ξ[f(b)-f(a)].
怎麼樣？你發現上面的解題過程錯在哪裡了嗎？其實我們這裡并不能保證f(x)和g(x)=x^2符合柯西中值定理的條件. 因為我們隻能保證f(x)和g(x)在[a,b]上連續且可導，滿足柯西中值定理的條件I和條件II，但卻不一定能滿足g'(ξ)不等于0，以及g(a)不等于g(b)，即不一定滿足柯西中值定理的條件III和條件IV. 所以上面的證明過程是錯誤的。
那到底應該怎麼證明呢？其實這裡要運用的是羅爾中值定理，解題的關鍵在于構造一個合适的輔助函數。正确的解法如下：
解：記g(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2, 則
g(x)在[a,b]上可導.
由羅爾中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使
g’(ξ)=(b^2-a^2)f’(ξ)-2ξ[f(b)-f(a)]=0,
即2ξ[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f’(ξ).
你看明白了嗎？這道題真正考查的，是我們對柯西中值定理條件的掌握情況。這道題也可以讓我們見識到數學嚴謹性的重要性。
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