網友提問√(1-x^2)的定積分怎麼求，但他沒有說上下限，一般在區間[-1,1]上，即它的定義域上求這個定積分，當然，我們也可以用a,b表示上下限。
定積分的幾何意義其實是曲線y=√(1-x^2)，x=a, x=b與x軸圍成的面積。而f(x)=√(1-x^2)是一個偶函數，它的圖像是關于y軸對稱的，因此我們可以隻探究第一象限内的情況，所以我們可以把下限設為0，求出第一象限上的積分，根據它的對稱性，就可以得到第二象限的積分，如果是對稱區間，則結果乘以2。
定積分是建立在不定積分的基礎上的，因此我們可以先求√(1-x^2)的不定積分∫√(1-x^2)dx. 求這個積分要用到第二換元法，就是記x=sint，這是因為函數f(x)=√(1-x^2)的定義域在[-1,1]，所以才可以這樣換元。那麼就有dx=dsint=costdt, 而√(1-x^2)=√(1-(sint)^2)=cost.
這樣通過換元之後，積分就變成了∫(cost)^2dt. 然後利用cos2t=2(cost)^2-1，可以轉化得到(cost)^2=（cos2t 1）/2. 原積分就等于1/2 ∫（cos2t 1）dt. 其中∫（cos2t 1）dt=∫cos2tdt ∫dt. 這是積分的和的公式。
又∫dt=t=arcsinx C1；
∫cos2tdt=1/2 ∫cos2td2t=sin2t /2 C2=sintcost C2=sint√(1-(sint)^2) C2=x√(1-x^2) C2。
所以原積分=(arcsinx x√(1-x^2))/2 C.
假如要求函數在[-1,1]上的定積分，則隻需求函數在[0,1]上的定積分，結果等于(arcsin1-arcsin0)/2=π/4. 因此在[-1,1]上的定積分是π/2.
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