均值不等式曆來是高考中的難點，本文将介紹一種可化為一次分式不等式的均值不等式的萬能解法。該方法可覆蓋高考中絕大多數的題型，且保證100%解出，但實際解題中，仍鼓勵使用“技巧性”方法。

首先看一道例題：

若正數x,y滿足x 2y=4xy，求x y/2的最小值

以下是很多同學常見的錯誤解法：

上述解法的錯誤在于将 x 2y = 4xy 這個約束條件進行了放縮，所以結果并不符合約束條件的要求。

更明确的說：①式中等号成立的條件是x=2y，②式中等号成立的條件是x=y/2，所以按照約束條件的要求，x y/2是無法取得上述最小值1的。

如何保留約束條件的完整信息是求解不等式問題的關鍵之一。

本例的技巧性解法如下：

但技巧性解法千變萬化，把握規律并不容易，一旦思路不暢，考場上可能浪費大量時間。

為了規避将約束條件放縮後導緻的錯誤，所求式應盡量保留約束條件的一切信息，故可按照如下思路進行：

1.從約束條件推導任意未知數的表達式；

2.代入所求式，将所求式化為一次分式（此時也可通過導數求最值，但極不推薦。另，高次分式不等式不在本文讨論範疇）；

3.将分式湊成：常數 b/a a/b 的形式；

4.利用均值不等式求得最值。

利用上述思路及方法考察例題：

首先，推導任意未知數表達式。如：可将x 2y = 4xy 寫成 x = 2y/(4y-1)。（此時保留了約束條件的一切信息）

代入所求式，化為一次分式，即：

（此時可通過導數求最值，但不推薦，盡管此題利用導數求解也并不麻煩）

調整分式：

等号成立條件為：

即：y=3/4。

很多學生可能覺得，将分式湊成：常數 b/a a/b的形式并不容易。當然這裡需要一定的熟練度才能快速寫出，但其本質是待定系數的思想，由此我們可以推導萬能解法的一般代數形式。

對于形如：

的一次分式，利用均值不等式求最小值的萬能解法（其中分式中的分子和分母均為正數）。

如果要化成：常數 b/a a/b 的形式，則需将c1x d1化成m1(a1x b1) n1(a2x b2)的形式，前半部分可以形成常數m1，後半部分可以利用均值不等式，與第二個分式的分母相消。故：

同理，将c2x d2化成m2(a2x b2) n2(a1x b1)，即：

顯然a1b2≠a2b1，否則這兩個分式是可以合并同類項的。于是：

上述結論的代數形式複雜，僅供參考，萬能解法的關鍵在于待定系數的思路及熟練拆分分子的方法。

例：若正實數x,y滿足2x y 6=xy，則xy的最小值是多少？

另，本題的其他主流解法為換元：令2x y=p，xy=q，有能力的同學可以自行嘗試。換元的關鍵同樣在于如何保留約束條件的全部信息，換元之後隻得到p 6=q是肯定不行的。

至于換元解不等式問題，另文再議。

提供幾個習題，請嘗試用萬能解法求解：

1.已知x>0,y>0,x 2y 2xy=8,求x 2y的最小值（本題技巧性解法為換元，方法如上）

2.已知0<x<1 求5/(1-x) 3/x的最小值（本題技巧性解法為原式乘以（1-x x））

3.若正數x,y滿足x 3y=5xy,求3x 4y的最小值（本題技巧性解法為約束條件左右同除以xy，再乘到3x 4y中）

文|高見遠，轉載請注明出處。

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