為了研究n階行列式的性質，我們先來讨論對換以及它與排列的奇偶性的關系。

在排列中，将任意兩個元素對調，其餘的元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換，将相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。

定理 1 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。

證 先證相鄰對換的情形。

設排列為,對換與，變為。顯然，這些元素的逆序數經過對換并不改變，而兩元素的逆序數改變為：當時，經對換後的逆序數增加而的逆序數不變；當時，經對換後的逆序數不變而的逆序數減少。所以排列與排列的奇偶性不同。

再證一般對換的情形。

設排列為,把它作次相鄰對換，調成，再做次相鄰對換，調成,總之，經過次相鄰對換，排列調成排列，所以這兩個排列的奇偶性相反。

列如12345，變成14325。2和3對換1次，變成13245；4和2對換1次，變成13425；4和3對換1次，變成14325。共對換3次，逆序數由0變為3，奇偶性對換。

推論 奇排列調成标準排列的對換次數為奇數，偶排列調成标準排列的對換次數為偶數

證 由定理知對換的次數就是排列奇偶性的變化次數，而标準排列是偶排列（逆序數為0），因此知推論成立。 證畢。

利用定理，我們來讨論行列式定義的另一種表示法。

對于行列式的任一項

,

其中為自然排列，為排列的逆序數，對換元素與成

,

這時，這一項的值不變，而行标排列與列标排列同時作了一次相應的對換。設新的行标排列的逆序數為，則為奇數（由定理1得知）；設新的列标排列的逆序數為，則（奇偶性對換）。故有，于是

這就表明，對換乘積中兩元素的次序，從而行标排列和列标排列同時作出了相應的對換，則行标排列和列标排列的逆序數之和并不改變奇偶性。經一次對換是如此，經多次對換當然還是如此。于是，經過若幹次對換。使：

列标排列（逆序數為）變為自然排列（逆序數為0）；

行标排列則相應地從自然排列變為某個新的排列，設此排列為，其逆序數為,則有

，

又，若，則（即)，可見排列由排列所唯一确定。

定理 2 n階行列式也可定義為，其中為行标排列的逆序數。

證 按行列式定義有，

記。

按上面讨論知：對于中任一項，總有且僅有中的某一項與之對應并相等；反之，對于中的任一項，也總有且僅有中的某一項與之對應并相等，于是與中的項可以一一對應相等，從而。

矩陣和轉置矩陣的關系對應行列式與的關系。

記

行列式稱為行列式的轉置行列式。

性質 1 行列式與它的轉置行列式相等。

證 記的轉置行列式

即，按定義

。

而由定理 2 ，有

，故。

由此性質可知，行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然。

性質 2 互換行列式的兩行（列），行列式變号

證 設行列式

是由行列式交換兩行得到的，即當時，;當時，于是

其中為自然排列，為排列的逆序數。設排列的逆序數為，則，故

。 證畢

以表示行列式的第行，以表示第列。交換兩行記作，交換

兩列記作。

推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。

證 把這兩行互換，有，故。

性質 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數，等于用數乘此行列式。

第行（或列）乘以，記作（或）。

推論 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

第行（或列）提出公因子，記作（或）。

性質 4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。

性質 5 行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，例如第列的元素都是兩數之和：

則等于下列兩個行列式之和：

性質 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然後加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。例如以數乘第列加第列上（記作），有

（以數乘第行加第行上（記作）。

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