一元二次方程，是初中階段方程中比較重要的一個。不止可以單獨考查，還可以結合函數來出題。從曆年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基于此，今天給大家分享我精心總結的一元二次方程基礎知識，先從基礎開始，逐漸深入掌握。

隻含有一個未知數x，未知數的最高次數是2，且系數不為 0，這樣的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

(a≠0)，其中a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。

因此，一元二次方程必須滿足以下3個條件：

① 方程兩邊都是關于未知數的等式

② 隻含有一個未知數

③ 未知數的最高次數為2

如：

，

為一元二次方程，而像就不是一元二次方程。

（1）當b=0，c=0時，有：

=0，∴

=0，∴x=0

（2）當b=0，0≠0時，有：

，∵a≠0，此方程可轉化為：

①當a與c異号時，

，根據平方根的定義可知，

，即當b=0，c≠0，且a與c異号時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，這兩個實數根互為相反數。

②當a與c同号時，

，∵負數沒有平方根，∴方程沒有實數根。

（3）當b≠0，c＝0時，有

，此方程左邊可以因式分解，使方程轉化為x（ax b）=0，即x=0或ax b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可見，當b≠0，c＝0時，一元二次方程

有兩個不相等的實數根，且兩實數根中必有一個為0。

1. 第一步：解一元二次方程時，如果給的不是一元二次方程的一般式，首先要化為一元二次方程的一般式，再确定用什麼方法求解。

2. 解一元二次方程的常用方法：

（1）直接開方法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程中缺少一次項，是一個形如ax2 c=0的方程時，可以用此方法求解。

解法步驟：①把常數項移到等号右邊，

；

②方程中每項都除以二次項系數，

；

③開平方求出未知數的值：

（2）因式分解法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程左邊的多項式可以因式分解的話，可以使用此方法求解。

解法步驟：①把方程的左邊因式分解，轉化為兩個因式乘積的形式；

②令每個因式分别等于0，進而求出方程的兩個根；

例：解關于x的方程：

解：把方程左邊因式分解成：（x-m）（x n）=0

∴x1=m，x2=n

（3）配方法：當一元二次方程化為一般式後，不能用直接開方和因式分解的方法求解時，可以使用此方法。

解法步驟：①若方程的二次項系數不是1，方程中各項同除以二次項系數，使二次項系數為1；

②把常數項移到等号右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；

④方程左邊變成一個完全平方式，右邊合并同類項，變為一個實數；

⑤方程兩邊同時開平方，從而求出方程的兩個根；

例：解方程：

解：方程兩邊同除以3得：

移項，得：

∴

即：

∴ x 2=±√6

∴

（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。

求根公式：，其中a≠0。

解法步驟：①先把一元二次方程化為一般式；’

②找出方程中a、b、c等各項系數和常數值；

③計算出b2-4ac的值；

④把a、b、b2-4ac的值代入公式；

⑤求出方程的兩個根；

例：解方程：

解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4

∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根為

1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx c =0（a≠0）的根的判别式。

利用根的判别式可以判斷根的情況：

（1）當△≥0時方程有兩個實數根：

當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；

（2）當△＜0時，方程無實數根。

例：關于x的一元二次方程

有實數根，求m的取值範圍。

解：當m-1≠0時，即：m≠1時，該方程是關于x的一元二次方程。

∵ △≥0，即

=-28m 44≥0，解得：m≤11/7

∴ m的取值範圍是m≤11/7且m≠1。

1.定理：設一元二次方程

（a≠0且

）的兩個根分别為x1和x2，則：x1 x2=-b/a，x1·x2=c/a

特别地：對于一元二次方程

，根與系數的關系為：

x1 x2=-p，x1·x2=q

注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是說方程必須有實根時才可以使用。

②此定理又叫韋達定理。

2.根與系數關系的應用舉例：

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