一切來自 “不可能”

歐幾裡得、阿基米德、笛卡兒、牛頓、高斯、達•芬奇、拿破侖、林肯……從哲人到數學家，從智者到皇帝，從藝術家到總統，什麼神奇故事能把這些人串成一出精彩的大戲？

達·芬奇在大概 50 歲的時候開始學習歐幾裡得和阿基米德的著作，并馬上成了一個狂熱的幾何學家。他的筆記中有上百頁都是關于倍立方和化圓為方問題的。求積問題是列奧納多沒法滿意解決的奇癢。每撓一下，隻會變得更癢。毫無疑問，他研究這些問題的動機是為了在智慧和美學層面獲得滿足感，但即便是智慧的那一面，最終也僞裝成了謎語或遊戲。最後，他在一幅幾何繪圖中寫道：“在聖安德魯日的晚上，我對化圓為方的研究終于結束了：燈火已經熄滅，夜晚也已結束，白紙也寫到了盡頭；終于在那一小時的最後，我得出了結論。”到底是他認為自己成功了，還是他那天晚上不想再繼續了？沒人知道。

林肯堪稱自學成才的“标兵”，他在周遊美國的時候自學了《幾何原本》。其合夥人赫恩登某天早上在辦公室發現了林肯：“他坐在桌旁，面前擺着一沓白紙、一大塊厚紙闆、一支圓規、一把直尺、無數支鉛筆、幾瓶不同顔色的墨水，還有一大堆文具和書寫用品。他明顯在奮戰于某種長度計算，身邊散布着一張又一張的紙，上面都寫滿了某種不同尋常的數字排列。我進門時他幾乎沒有擡頭看我……當他站起來時，說他正在試着解決困難的化圓為方問題……接下來的兩天裡，他大部分時間都全神貫注在這一即便不是不可解，也是極為困難的問題上。我覺得他幾乎要累癱了。”

費曼小時候曾夢想着青史留名，他和朋友以為自己找到了僅用圓規和直尺就可以三等分角的方法。實際上，他們誤解了題目的本意：他們可以三等分等腰三角形的一條邊，卻錯誤地認為對角到等分點的連線可以三等分對角。小費曼和朋友騎着自行車在附近兜風，興奮地想象報紙上的大标題：“兩個初學幾何的高中生破解千年以來三等分角難題。”

三等分角、倍立方、作正多邊形、化圓為方。圓規與直尺幻化出的“戲法”，讓多少人做了一輩子“流芳百世”的美夢。陷入這場“燒腦”苦戰的人一開始幾乎都認為：“這不就是個孩子玩意兒嗎？我說不定就能解決這個問題。”人們踏上尋找數學瑰寶的千年之旅，誰知，最後的結論居然是——不可能！

不可能，就是不可能

有些“不可能”比較容易被承認。例如用手寫出π的前位數字。很多因素限制了可能性：人類的壽命沒有長到能寫出這麼多數字，我們還不知道π的這麼多位數字，即便知道，宇宙中也沒有足夠的墨水和紙讓我們把它寫出來。在這種問題上，人們比較容易“認命”。又如，我們假設某些想法或行動是可能的，但這會違背我們對世界的認知。永動機就是個最好的例子，因為它違背了包括能量守恒定律在内的多個物理定律。

當然，有些問題随着時間推移，會從“不可能”變為“可能”。比如在4分鐘内跑完1英裡曾被認為是不可能的，人類在天空中飛翔曾經也被認為是天方夜譚……因此，人們總是帶着希望，希望有一天變“不可能”為“可能”，并借此成就一番事業。

然而，有些事實際上就是“不可能”的。時至今日，因為無法在現有科學框架中實現，有些事情還被認為不可能。而數學上的“不可能”是什麼意思？我們又該怎麼證明？比如，怎麼證明如果存在整數k，使得n=2k，則n是偶數？不必檢查所有可能性來證明上述定理，我們隻需調用整數和偶數的一般性質就能證明了。

而在更複雜的情形中，規則決定一切。在數學中，公理和定義就是基本法則。它們包括在具體問題或者定理陳述中用到的假設，也包括那些使我們得以構建堅實數學證明的邏輯規則。如果我們忽略或改變它們，就有可能完成先前被認為不可能的任務。歐幾裡得證明了三角形内角和是180°，因此，“不可能”作一個内角和是其他數值的三角形。但在19世紀，數學家們意識到如果可以修改規則并且改變歐幾裡得的公設，他們就能創造出全新的、自洽的非歐幾何體系，其中，三角形内角和可能不是180°：球面上的一個三角形的三個角可以均為90°，所以其内角和是270°。

如果改變規則，就能化不可能為可能。在尺規問題上，如果能改變規則，比如添加額外的工具，或舍棄一些工具，又或改變一些操作，結果會怎樣？……其實，随意改變規則會催生陷阱，令人産生錯覺，誤導人們。而這就是四大尺規作圖難題讓很多人（直到今天還在）飛蛾撲火的原因。

數學家德·摩根甚至創造了一個詞來描述這些被誤導的愛好者所患的“病症”——化圓為方病。他寫道：“一旦病毒侵入腦髓，患者就會飛蛾撲火；先用一種方法，然後又換一種，循環往複，樂此不疲。”

目前所知，笛卡兒是第一位試圖證明這些問題不可解的人。在《幾何學》一書中，他構建了能讨論這些問題的代數框架，這包括了引入不可約方程的概念（盡管他的定義既不清楚，也不統一）。他瞄準了關鍵事實，那就是解決這些問題依賴于尋找不可約三次方程的根。這一事實在兩個世紀之後的最終證明中至關重要。可惜的是，笛卡兒證明它們不可解時，隻給出了一個令人困惑、不精确，而且是幾何的而非代數的解釋。事實上，笛卡兒沒有證明這些問題的不可能性，無論是從幾何角度還是代數角度。

盡管證明失敗，笛卡兒還是得到了重要的進展，首先，他認識到了這是一個可以被證明的定理，而不隻是一個關于難題或者看起來不可能之事的含糊而不精确的叙述。其次，他把幾何問題轉化成代數方程，引入了很多有用的代數方法，還提出了不可約多項式的重要概念。

不幸的是，恰恰因為笛卡兒給出了“不可能性”的斷言，許多後世數學家都錯誤地認為是笛卡兒證明了三等分角和倍立方的不可能性。

1837年，當笛卡兒的《幾何學》也迎來了200歲生日時，23歲的法國數學家皮埃爾·汪策爾發表了一篇僅有7頁長的文章，終結了千年來對三個古典問題的猜測，證明了不可能三等分任意角、作任意正多邊形或是倍立方。迎接這一新聞的是喧天的鑼鼓、主流新聞媒體的頭條嗎？汪策爾一定被捧上雲霄了吧？

并沒有……他迎來的是一片死寂。這一結果不僅沒有得到宣傳，甚至連一個世紀之後的傑出數學家們都不知道誰證明了這些不可能性定理。即便是曆史已經得到糾正的今天，汪策爾還是不為人知，被人低估。他的維基百科頁面都不需要滾動條就能看完。厚達27卷的《科學傳記大詞典》是一部簡要描述具有影響力的科學家和數學家的生平及工作的學術著作，其中并沒有汪策爾的條目。甚至還有人不肯相信這一結果，還在奮不顧身地拿出證據來。

你可以把整個故事都當作一個笑話，但一切或許就來自“不可能”。這也是尺規難題的奇妙之處，你從一個洞走進這個世界，卻能發現存在其他有趣的、通往意想不到的新世界的洞口。有人試着走出來，也有人一輩子待在這個虛妄的世界裡，做着“一鳴驚人”的美夢。

《不可能的幾何挑戰：數學求索兩千年》

Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity

作者：大衛·S.裡奇森

出版社：人民郵電出版社/圖靈新知

出版時間：2022-01

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目錄

序 v

引言 ix

第1章 四個問題 1

閑話 科妄 13

第2章 證明不可能 20

閑話 九個不可能性定理 30

第3章 尺規作圖 35

閑話 戰斧 54

第4章 第一次數學危機 55

閑話 牙簽作圖 68

第5章 倍立方 70

閑話 埃拉托斯特尼的中項尺 82

第6章 π的早期曆史 83

閑話 大金字塔 98

第7章 求積法 100

閑話 列奧納多·達·芬奇的半月形 110

第8章 阿基米德數 113

閑話 家中巧算π值 139

第9章 七邊形、九邊形以及其他正多邊形 146

閑話 三等分角需要時間 153

第10章 二刻尺作圖 155

閑話 克羅克特·約翰遜的七邊形 167

第11章 曲線 170

閑話 木工角尺 185

第12章 以一當十 188

閑話 折紙 204

第13章 代數的黎明 207

閑話 庫薩的尼古拉 230

第14章 韋達的分析方法 234

閑話 伽利略的圓規 245

第15章 笛卡兒的尺規算術 250

閑話 為π立法 271

第16章 笛卡兒和古典問題 274

閑話 霍布斯、沃利斯以及新代數 284

第17章 17世紀圓的求積 290

閑話 數字獵人 302

第18章 複數 313

閑話 τ革命 327

第19章 高斯的十七邊形 329

閑話 鏡子 345

第20章 皮埃爾·汪策爾 349

閑話 用其他工具可以作什麼圖？374

第21章 無理數和超越數 380

閑話 十大超越數 401

尾聲 塞壬還是缪斯？403

注釋 406

人名對照表 447

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