最值問題是平面解析幾何中的一個既典型又綜合的問題．求最值常見的方法有兩種：代數法和幾何法．若題目條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法．若題目條件和結論能明顯體現某種函數關系，則可先建立目标函數，再求函數的最值，這就是代數法．

一、幾何法

利用平面幾何性質求解最值問題，這種解法若運用得當，往往顯得非常簡潔明快．

例1、已知P（x,y）是圓

上的一點，求

的最大值與最小值。

分析：

，于是問題就可以轉化為在以A（2，0）為圓心，以

為半徑的圓上求點P，使它與原點連線的斜率為最大或最小。

由示意圖可知，當OP與此圓相切時，其斜率達到最大值或最小值。由OA=2，AP₁=AP₂=

，且AP₁⊥OP₁，AP₂⊥OP₂，OP₁=OP₂=1，且∠AOP₁=∠AOP₂=60°，得

。

二、代數法

用代數法求最值常用的方法有以下幾種：

1、利用判别式法求最值、利用此法求最值時，必須同時求得變量的範圍，因為方程有解，Δ≥0所指的是在（

）範圍内方程有解，這一點應切記．

例2、（同例1）

分析：設

，将y=kx代入圓方程得

。x為實數，方程有解，

，解得

，故

。

即。

2、利用二次函數性質求最值．用此法求最值時，必須注意變量的取值範圍．

例3、已知橢圓

及點P（0，5），求點P到橢圓上點的距離的最大值與最小值．

分析：以（0，5）為圓心，若内切于橢圓的圓半徑為r₁，則r₁為點P到橢圓上點的距離的最小值；若外切于橢圓的圓半徑為r₂，則r₂為點P到橢圓上點的距離的最大值．

因

，故點P（0，5）在橢圓内部．

設以（0，5）為圓心的圓方程為

，與橢圓方程聯立消去x²，得

。當

時，

，即

；當y=7時，

，即

。

注：這裡将距離的最大值、最小值的探求轉化為半徑r的函數，利用函數的性質求得定義域内的最大值、最小值．值得注意的是因為r的定義域的限制，這裡不适合利用判别式法．

3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值時，必須注意應用基本不等式的條件，特别要注意等号的條件以及“和”（或“積”）是不是常數，若連續應用不等式，那麼要特别注意同時取等号的條件是否存在．若存在，有最值；若不存在，無最值．

例4、過點A（1，4）作一直線，它在兩坐标軸上的截距都為正數，且其和為最小，求這條直線的方程．

分析：可用截距式設所求直線方程為

。

，

∴

，當且僅當

時s取最小值，即b=6。故所求直線方程為

。

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