摘要：在将直線方程與圓錐曲線方程聯立時，如果借助齊次化的思想方法，就可以得到關于y/x的一元二次方程，從而将題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，從而根據韋達定理直接得到斜率之和與斜率之積的表達式．

“齊次化”是一種通過構造關系式（等式或不等式）兩邊各項的次數相等，轉化為齊次式結構，從而實現解題的一種數學轉化方法．在求解圓錐曲線問題時，常常需要将直線方程與圓錐曲線方程聯立，如果借助齊次化的思想方法，就可以得到關于y/x的一元二次方程，從而将題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個根，再根據韋達定理，即可直接得到斜率之和與斜率之積的表達式．齊次化思想方法的這種操作又常被稱為齊次化聯立．利用這種齊次化聯立與平移齊次化方法，往往可以降低一類斜率之和或斜率之積問題的運算量，實現巧解．

在解析幾何知識的學習過程中，學生遇到圓錐曲線綜合題時往往表現得束手無策、舉步維艱，“會而不對，對而不全，全而不優”的現象普遍存在．究其原因，一方面是因為學生對解析幾何研究問題的基本方法——坐标法的認識較為膚淺，缺乏用坐标法解決綜合問題的整體設計；另一方面是因為學生大都比較害怕“運算”，對運算對象的理解、運算思路的探究、運算程序的設計和運算路徑的選擇上存在不足[1]．教師在常态課堂教學中要更多地關注學生對坐标法解題程序的整體設計和運算思路的合理選擇，促進學生更好地領悟解析方法的本質，提升數學運算素養．

3.1 齊次化方法體現了運用坐标法求解綜合問題的整體構思

解析幾何強調利用坐标系與函數、方程的相關知識，把有關圖形的幾何問題，轉化為關于方程的代數問題，有利于人們對幾何圖形及其問題的深入研究．這也是解析法（坐标法）的本質特征．如何利用坐标與方程來求解圓錐曲線中的綜合問題，這往往需要解題者在審題時進行整體的構思．比如在直線與圓錐曲線相交時，我們常先根據“設而不求”的思路得到x1 x2與x1*x2或者y1 y2與y1*y2，然後再利用這裡的兩根之和與兩根之積實現“整體代換”，去求得線段之長、三角形的面積、斜率之和與斜率之積等等，進而去判斷、求解相關的最值、定點與定值等問題．

在進行解題的整體構思時，一方面，我們必須較為精準地判斷出每一個題設條件的用途，以便推知由此可以得出的結論；另一方面，從問題待求解的結論出發，我們也需要對其進行合理轉化，尋求破解疑難的必要條件與充分條件，從而預計溝通題設條件與問題結論的可能性．從這個意義上說，上述齊次化方法充分體現了運用坐标法求解圓錐曲線綜合問題的整體構思，齊次化聯立能得到什麼樣的結論、解決什麼樣的問題，平移齊次化又能達到什麼樣的效果，平移後的“變”與“不變”怎樣來解釋平移前的問題……隻有對齊次化方法有了整體的認知，才能将求解的思路形成一個整體構思．

3.2 齊次化方法強化合理依據運算法則解決數學問題的能力

數學運算被列入高中階段數學核心素養，是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養．它既是一種特殊的邏輯推理，而且能較好地甄别學生解決問題的能力．由于解析幾何是運用代數工具來解決幾何問題，涉及到“數”與“式”的合理整合與靈活轉換，“運算”往往成為許多學生在問題解決過程中的攔路虎．本文所展示的六道與斜率之和或斜率之積有關的問題，如果利用常規思路進行求解，往往會因為其較為複雜的表達形式和繁重的計算量，讓學生産生畏難情緒．齊次化方法通過平移變換、齊次化簡等靈活巧算的技巧和方法，合理構造出兩條直線的斜率之和與斜率之積，大大簡化了表達形式，降低了計算量．

因此，在平時的教學活動中，教師一方面要有意識地引導學生學會探索、歸納、梳理、總結圓錐曲線中的一些典型問題，以不變應萬變，切實提高學生的解題能力與信心；另一方面，還需要引導學生從多元視角分析影響運算的相關因素，加強對理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路等數學運算本質的領悟與應用，不斷滲透數學思路與方法，從而鞏固“四基”和提升“四能”．

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