一道高中立體幾何求立方體的體積
金字塔有一個正方形的基底,邊長為1,側面為等邊三角形。一個立方體被放置在金字塔中,它的一個面在金字塔的底部,而它的另一個面的所有頂點都在金字塔的側棱上。這個正立方體的體積是多少?
解法1:首先要把立體問題轉化成平面問題,如圖,如果從四面體的頂點做一個平行與底邊并垂直底面的垂面,那麼剖面是:
利用勾股定理可以求出高是h, h的平方=3/4-1/4=1/2,故h=1/√2,
利用三角形的相似性
x/1=(h-x)/h, 求出,
x=h/(1 h), 将h帶入,
x=√2-1
因此所求的體積是:
解法2:另一種轉化成平面的解法是,從頂點和正方體上表面的對角線上的兩點做剖面,如圖,可以很容易證明該三角形是直角三角形,這是由三個邊長決定的。
底邊列出等式:
由此得出體積:
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