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高中幾何圖形的體積轉化方式

教育 更新时间:2024-11-23 15:41:07

一道高中立體幾何求立方體的體積

金字塔有一個正方形的基底,邊長為1,側面為等邊三角形。一個立方體被放置在金字塔中,它的一個面在金字塔的底部,而它的另一個面的所有頂點都在金字塔的側棱上。這個正立方體的體積是多少?

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)1

解法1:首先要把立體問題轉化成平面問題,如圖,如果從四面體的頂點做一個平行與底邊并垂直底面的垂面,那麼剖面是:

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)2

利用勾股定理可以求出高是h, h的平方=3/4-1/4=1/2,故h=1/√2,

利用三角形的相似性

x/1=(h-x)/h, 求出,

x=h/(1 h), 将h帶入,

x=√2-1

因此所求的體積是:

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)3

解法2:另一種轉化成平面的解法是,從頂點和正方體上表面的對角線上的兩點做剖面,如圖,可以很容易證明該三角形是直角三角形,這是由三個邊長決定的。

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)4

底邊列出等式:

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)5

由此得出體積:

高中幾何圖形的體積轉化方式(一道高中立體幾何求立方體的體積)6

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