經典奧數試題選講（二）：拆分長乘式和思維聯想

本期，我們來看這道經典的奧數題目：

我還是一個小學生的時候，這樣的題目給我留下了巨大的心理陰影，經常是枯坐半日，毫無頭緒。尤其是當年的教學資源遠不如現在這樣完備，有時候想翻到最後看看解答過程，結果隻看到一個略字。

當然，這樣的題目，對沒有接觸過的學生來說，直接上手做一般是不行，需要其他題目作合理的鋪墊。

所以，我們先來看一道鋪墊的題目。（為了讓低年級的小孩也能看懂，這類題目也往往寫成下面這樣的形式）

這道題目，我們還是做不來。

那麼，我們會做的有什麼？我們有沒有做過類似的題目？#聯想做過的有相同未知量的題目

我們會比較兩個數的大小，也會比較一些運算式的大小，像20×20和19×21，我們可以不計算結果直接比較。隻是這樣的算式，限于較短的計算，而不像題目中那麼長。

那麼，能不能把很長的算式轉化成較短的算式呢？

有一個方法比較容易想到，我們可以把這兩個乘式等分成若幹個小的式子，然後比較每個小式子的大小，再由小式子的大小判斷總的乘式的大小。

我們把題目中乘數的個數做因數分解：296=37×8；185=37×5

所以，第一個乘式可以拆成37個相同的小式子，每個小式子都是2的8次方；第二個乘式也可以拆分成37個，每個都是3的5次方。

2的8次方等于256，3的5次方等于243，前者要大。所以，前一個乘式中的每一個小式子都大于後者，那麼它們的乘積也大于後者。這叫做單調性，也叫做你大爺還是你大爺。

由此，我們可以找到解這類題目的一種方法：即，先找到乘數個數的最大公約數，然後把乘式等分成若幹段，段數等于最大公約數，比較單段的大小就可以推出總的乘式的大小。

我們試試用這個方法，來解第一道題目：

234=29×2×3

100=5×5×2×2

兩數的最大公約數是2， 即使我們把這兩個式子分解成相等的兩段，剩下的各段還是大到無法計算。

題目解到這裡，算是卡殼了。

現在我們知道，第一題和第二題，并不是完全一樣的題目。但這兩個問題有相當多類似的地方，既然我們不能直接套用解法來解題，就得考慮做些變通，把一個不會的問題轉化成一個會的問題。#再次聯想做過的有相同未知量的題目

第二題的解法，是把一個長的乘式拆分為許多足夠小的乘式，而第一題的算式，我們既不能拆分到足夠多，也不足夠小。

那麼，能不能把拆分的方法稍加變通呢？如果我們不能分解5的100次方，那能不能分拆5的99次、101、102次方呢？

讓我們依次來試，101是個質數，不能拆分，而99可以拆分成33×3，這樣的話，5的100次方可以拆成33個5的3次方，再乘以一個5，足夠多也足夠小。（當然，你可以選擇先拆2的234次方。優先拆5的100次方的原因是，我們更加熟悉100附近的數怎樣因數分解）

再來看2的234次方，在234周圍，有沒有33的倍數呢？恰好，33的7倍等于231，那麼2的234次方就可以拆成33個2的7次方，再乘以2的3次方。

2的7次方等于256，5的3次方等于255，前者大于後者，所以33個乘式中前者都大于後者。再看餘下的的部分，2的3次方大于5，前者也大于後者。

綜上，2的234次方大于5的100次方，你二大爺還是你二大爺。

我們經常建議三年級以上的學生，适當的做一些奧數題，那是因為，小學課本上的數學内容太簡單了，如果孩子總是呆在舒适的安全區裡，那麼他們根本得不到應有的鍛煉。但同時我們也建議，在學習奧數的過程中，要注意适當的難度（進階式的）和教授方法（啟發式和探索式的）。正如你在這道題裡可以看到的，學會計算長乘式本身毫無意義，學會從一個已知的問題突破到未知問題，才真正重要。

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