關于頻率分辨率的2種解釋

解釋一：

頻率分辨率可以理解為在使用DFT時，在頻率軸上的所能得到的最小頻率間隔

其中N為采樣點數，fs為采樣頻率，Ts為采樣間隔。所以NTs就是采樣前模拟信号的時間長度T，信号長度越長，頻率分辨率越好。

是不是采樣點數越多，頻率分辨力提高了呢？其實不是的，因為一段數據拿來就确定了時間T，注意：f0=1/T，而T=NTs，增加N必然減小Ts，因此，增加N時f0是不變的。隻有增加點數的同時導緻增加了數據長度T才能使分辨率越好。

還有容易搞混的一點，我們在做DFT時，常常在有效數據後面補零達到對頻譜做某種改善的目的，我們常常認為這是增加了N，從而使頻率分辨率變好了，其實不是這樣的，補零并沒有增加有效數據的長度，仍然為T。

但是補零其實有其他好處：

• 使數據N為2的整次幂，便于使用FFT。
• 補零後，其實是對DFT結果做了插值，克服“栅欄”效應，使譜外觀平滑化。我把“栅欄”效應形象理解為，就像站在栅欄旁邊透過栅欄看外面風景，肯定有被栅欄擋住比較多風景，此時就可能漏掉較大頻域分量，但是補零以後，相當于你站遠了，改變了栅欄密度，風景就看的越來越清楚了。
• 由于對時域數據的截短必然造成頻譜洩露，因此在頻譜中可能出現難以辨認的譜峰，補零在一定程度上能消除這種現象。

那麼選擇DFT時N參數要注意：

• 由采樣定理：fs>=2fh，
• 頻率分辨率：f0=fs/N，所以一般情況給定了fh和f0時也就限制了N範圍：N>=fs/f0。

解釋二：

頻率分辨率也可以理解為某一個算法（比如功率譜估計方法），将原信号中的兩個靠得很近的譜峰依然能保持分開的能力。這是用來比較和檢驗不同算法性能好壞的指标。在信号系統中我們知道，寬度為N的矩形脈沖，它的頻域圖形為sinc函數，兩個一階零點之間的寬度為4π/N。由于時域信号的截短相當于時域信号乘了一個矩形窗函數，那麼該信号的頻域就等同卷積了一個sinc函數，也就是頻域受到sinc函數的調制了，根據卷積的性質，因此兩個信号圓周頻率之差W0必須大于4π/N。從這裡可以知道，如果增加數據點數N，即增加數據長度，也可以使頻率分辨率變好，這一點與第一種解釋是一樣的。同時，考慮到窗函數截短數據的影響存在，當然窗函數的特性也要考慮，在頻率做卷積，如果窗函數的頻譜是個沖擊函數最好了，那不就是相當于沒截斷嗎？可是那不可能的。

我們考慮窗函數主要是以下幾點：

• 主瓣寬度B最小（相當于矩形窗時的4π/N，頻域兩個過零點間的寬度）。
• 最大邊瓣峰值A最小（這樣旁瓣洩露小，一些高頻分量損失少了）。
• 邊瓣譜峰漸近衰減速度D最大（同樣是減少旁瓣洩露）。

在此，總結幾種很常用的窗函數的優缺點：

• 矩形窗：B=4π/N A=-13dB D=-6dB/oct
• 三角窗：B=8π/N A=-27dB D=-12dB/oct
• 漢甯窗：B=8π/N A=-32dB D=-18dB/oct
• 海明窗：B=8π/N A=-43dB D=-6dB/oct
• 布萊克曼窗：B=12π/N A=-58dB D=-18dB/oct

可以看出，矩形窗有最窄的主瓣，但是旁瓣洩露嚴重。漢甯窗和海明窗雖主瓣較寬，但是旁瓣洩露少，是常選用的窗函數。

采樣周期與頻率分辨率

fs/N常稱作為頻率分辨率，它實際是作FFT時譜圖中的兩條相鄰譜線之間的頻率間隔，也有稱作步長。單位是Hz、Khz等。頻率分辨率實際有二重含義，在這裡隻是其中一種。

1/fs的單位的s、ms、us或分、時...年等。1/fs代表采樣周期，是時間域上兩個相鄰離散數據之間的時間差。因此fs/N用在頻率域，隻在DFT以後的譜圖中使用；而1/fs用時間域，隻要數據經采樣，離散化後任何其它的應用中都可使用。例如有的數字濾波器中就用到。

其中Δf是頻率采樣間隔，同時也是頻率分辨率的重要指标，如果這個值越小，則頻率分辨率越高。

1/fs往往用在求時間序列上，如 (0:N-1)*1/fs等等，如果這個不好理解，可以把前面的公式求倒數，這就清楚多了。

采樣定理

采樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說明采樣頻率與信号頻譜之間的關系，是連續信号離散化的基本依據。采樣定理是1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴格地表述這一定理，因此在蘇聯文獻中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的創始人C.E.香農對這一定理加以明确地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時域采樣定理和頻域采樣定理。采樣定理在數字式遙測系統、時分制遙測系統、信息處理、數字通信和采樣控制理論等領域得到廣泛的應用。

時域采樣定理

頻帶為F的連續信号f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1)，f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...來表示，隻要這些采樣點的時間間隔Δt≤1/2F，便可根據各采樣值完全恢複原來的信号f(t)。

模拟信号采樣示意圖

時域采樣定理的另一種表述方式是：當時間信号函數f(t)的最高頻率分量為fM時，f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/2fM的采樣值來确定，即采樣點的重複頻率f≥2fM。時域采樣定理是采樣誤差理論、随機變量采樣理論和多變量采樣理論的基礎。

頻域采樣定理

對于時間上受限制的連續信号f(t)（即當│t│>T時，f(t)=0。這裡T=T2-T1是信号的持續時間），若其頻譜為F(ω)，則可在頻域上用一系列離散的采樣值用下式表示

隻要這些采樣點的頻率間隔

分析頻率、采樣點數、譜線數的設置要點

最高分析頻率，Fm指需要分析的最高頻率，也是經過抗混濾波後的信号最高頻率。根據采樣定理，Fm與采樣頻率Fs之間的關系一般為：

而最高分析頻率的選取，決定于設備轉速和預期所要判定的故障性質。

采樣點數N與譜線數M有如下的關系：

N=2.56M，其中譜線數M與頻率分辨率ΔF及最高分析頻率Fm有如下的關系：

即：

所以：

采樣點數的多少與要求多大的頻率分辨率有關。例如：機器轉速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障頻率估計在8倍頻以下，要求譜圖上頻率分辨率ΔF=1Hz，則采樣頻率和采樣點數設置為：

• 最高分析頻率：Fm=8·50Hz=400Hz；
• 采樣頻率：Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz；
• 采樣點數：N=2.56·（Fm/ΔF）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024=210；
• 譜線數：M=N/2.56=1024/2.56=400條。

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