已知z=f(7xy,x^2 y^2,y^3)，且z對x,y的所有二階偏導數
本文通過全微分、鍊式求導法等方法，介紹計算抽象函數z= f(7xy,x^2 y^2,y^3)的所有二階偏導數的具體步驟。
z=f(7xy,x^2 y^2,y^3)，用全微分求導法，則有：
dz=7f1'(ydx xdy) f2'(2xdx 2ydy) 3f3'y^2dy，即：
dz=7yf1'dx 7xf1'dy 2xf2'dx 2yf2'dy 3f3'y^2dy，
dz=(7yf1' 2xf2')dx (7xf1' 2yf2' 3y^2f3')dy。
則z對x的一階偏導數為：
=7yf1' 2xf2';
同理，z對y的一階偏導數為：
=7xf1' 2yf2' 3y^2f3'。
因為=7yf1' 2xf2'，再次對x求導，
所以
=7y(f11''*7y f12''*2x) 2f2' 2x(f21''7y f22''*2x),
=49y^2f11'' 28xyf12'' 2f2' 4x^2f22''。
因為=7xf1' 2yf2' 3y^2f3'，再次對y求導，
所以
=7x(f11''*7x f12''*2y f13''*3y^2) 2f2' 2y(f21''*7x f22''*2y f23''*3y^2) 6yf3' 3y^2(f31''*7x f32''*2y f33''*3y^2)
=49x^2f11'' 14xyf12'' 21xy^2f13'' 2f2' 14xyf12'' 4y^2f22'' 6y^3f23'' 21xy^2f31'' f32''*6y^3 9y^4f33'',
=49x^2f11'' 28xyf12'' 42xy^2f13'' 2f2' 4y^2f22'' 12y^3f23'' 9f33''.
因為=7xf1' 2yf2' 3y^2f3'，再次對x求導，
所以
=7f1' 7x(f11''*7y f12''*2x) 2y(f21''*7y f22''*2x) 3y^2(f31''*7y f32''*2x)
=7f1' 49xyf11'' 14x^2f12'' 14y^2f12'' 4xyf22'' 21y^3f31'' 6xy^2f32'',
=7f1' 49xyf11'' 14(1x^2 y^2)f12'' 4xyf22'' 21y^3f31'' 6xy^2f32''。
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