函數(function)是我們初中就開始接觸的一個數學概念,也是高中階段最核心的數學概念之一,我們通常用f(x)來表示一個函數。上了大學之後,我們會更加深入地研究函數的連續性,可微性,可導性等問題。但是對于絕大多數的同學,平時所接觸的函數都隻是所謂的初等函數。初等函數,指的是由5大類基本初等函數:
幂函數(power function),指數函數(exponential function),對數函數(logarithmic function),三角函數(trigonometric function)和反三角函數(inverse-trigonometric function)
經過有限次加減乘除與複合所得到的函數。比如我随手寫一個函數:
它可就可以看成是一個三角函數與幂函數做複合,再和指數函數做除法得到的。
你可以搜羅一下你所見到的函數,基本上都是初等函數,那麼這個“初等”又是怎麼回事呢?難道還有“高等”的函數嗎?
的确如此,初等函數都具有一些良好的性質,比如,所有初等函數在其定義域上都是連續的,并且是幾乎處處可導的,即使有一些不可導點,那這些不可導點也是有限的、孤立的。也就是說,初等函數的圖像都是我們可以想象出來的,就是一段兒除了個别點之外,其餘都是連續的、光滑的曲線。比如我剛才随手寫的函數,它的圖像就是如下的樣子:
那麼是否會有一些函數,它有無窮多個不可導點,甚至每一點都不可導,更有甚者,圖像我們連畫都畫不出來?這樣的函數是有的,而它顯然不是我們熟悉的初等函數,因為其性質太過詭異,我們稱其為“病态函數”。最簡單的一類病态函數就是大名鼎鼎的狄利克雷函數。在介紹它之前,我們先來介紹一下他的發明人——德國大數學家狄利克雷(Dirichlet)。
狄利克雷(1805-1859)
狄利克雷出生于1805年,他可謂是師出名門,曾經是“數學王子”高斯(Gauss,1777-1855)的學生,同時也參加過另一位法國大數學家傅裡葉(Fourier,1768-1830)領導的小組活動。他于1829年到柏林大學任教,1831年被選為普魯士科學院院士,并于1855年接替高斯成為哥廷根大學的教授,同年被選為英國皇家學會會員。
狄利克雷在數論、分析學和數學物理等多方領域做出了傑出貢獻,是19世紀上半葉非常重要的一位數學家,同時也為19世紀下半葉哥廷根大學成長為世界數學中心奠定了基礎。
十九世紀數學聖地——哥廷根大學
長久以來,人們隻是把函數理解為兩個變量之間的變化關系,并且通常用一個表達式來表示。1837年,狄利克雷突破了這個框架,認為函數就是集合中兩個元素的對應關系,而不必非得有一個表達式,于是提出了函數就是x與y之間的一種對應關系的現代觀點。我們現在教科書上的關于函數的定義,基本上就是沿襲了這種觀點。
函數概念示意圖
為了說明這一觀點,狄利克雷就構造了一個人們以前從來沒有見過的函數,就是我們現在被稱之為狄利克雷函數的函數,它的函數表達式如下:
這個函數的圖像讓人想想就頭皮發麻:在實數軸上有無數多個密密麻麻的有理數,同時還有無數多個密密麻麻的無理數。因此它的圖像也是如此的詭異:在y=1的地方密密麻麻分布着無數個點,但是因為有無理數的存在,所以這些點彼此又存在無數多的空隙,不能連成一條連續的直線,同樣道理,在x軸上也是如此!這樣的圖像我們想試用筆畫出來是萬萬不可能的。
這裡需要補充一句,有很多人說狄利克雷函數是不存在圖像的,這種說法是錯誤的。它不是不存在圖像,而是圖像我們無法用筆畫出。事實上,任何函數都是有圖像的,對于給定的函數f(x),我們把集合
{ (x,f(x)) | x在定義域内}
稱為這個函數的圖像。
狄利克雷函數徹底颠覆了人們對函數的傳統認識。通常人們想象出來的函數就是一段或者幾段光滑的曲線,它或許有不連續點或不可導點,但都是有限多個、分散開的,但是狄雷克雷函數的圖像,人們連畫都無法畫出來,甚至它在連續性與可導性上更加突破了人們的想象。我們就來看一下狄利克雷函數它具有哪些詭異的性質。
意思是所有的點都是間斷點。我們在高等數學裡面學過,函數f(x)在x=a處連續的定義是函數在該點的極限值等于該點的函數值,即它要滿足
不滿足的話,則是不連續的。我們就拿這個定義來檢驗一下狄利克雷函數。當a無論取何值時,在a的任意一個小的鄰域内,都有無數多個有理點和無數多個無理點,有理點處函數值為1,無理點處函數值為0,因此在a的左邊和右邊函數都是無窮震蕩的,所以x趨近a是f(x)的極限不存在,也就更無法等于f(a)了,因此是不連續的。因為a是任意取的一個值,所以狄利克雷函數在任意一點都是不連續的。
我們高中時都學過,可導一定連續,連續不一定可導,并且不連續一定不可導,狄利克雷函數在任意一點都不連續,因此它在任意一點都不可導。
這裡順便提一下,狄利克雷函數處處不可導,是因為處處不連續。不連續導緻不可導,這沒什麼大不了的,但在1872年,被譽為“近代分析之父”的德國數學家魏爾斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)構造出了一個處處連續但無處可導的函數,又進一步颠覆了人們對導數概念的理解,這是後話。
我們在高等數學中學過,一個函數f(x)在閉區間[a,b]上的定積分,它的定義就是如下的極限:
右邊這個極限如果存在,則稱f(x)在[a,b]上是可積的,極限如果不存在則稱為不可積。
事實上,想構造出一個不可積的函數非常地困難。回想一下你在高等數學裡面接觸過的所有有界函數,其實都是在閉區間上可積的。而不可積的函數則隻能從“病态函數”裡面尋找,狄利克雷函數就是其中一個最典型的例子。
我們來說明一下為什麼狄利克雷函數不可積,就拿[0,1]這個閉區間舉例子。我們做定義定積分的關鍵一步是要把[0,1]這個閉區間分割成若幹小段,然後再讓這些小段的長度趨近于0。因為有理數和無理數是密密麻麻的排列在實數軸上的,所以一個小區間無論多麼的短,它裡面都包含着無數多有理數和無理數。我們可以這樣來取x*的值:對于任意短的小區間,
由此可以看出,無論你你這個區間長度多麼的短,都可以想方設法讓求和式子等于0,同時也可以想方設法讓求和式子等于1,于是這也相當于是一個無窮震蕩,因此它的極限也不存在。所以我們就說明了狄利克雷函數在[0,1]閉區間上不可積。
黎曼和與定積分示意圖
上面三條就是狄利函數所具有的,而你在初等函數中又無法看到的詭異的性質。狄利克雷函數可以說是最簡單的一類病态函數,以它為思想我們可以構造出很多其他類型的病态函數,比如說我們可以把0和1變成任意兩個不同的數:
可以看出這樣構造出來的函數,同樣具有上述三個詭異的性質。同時我們還可以對它進行改造,構造出一些更為詭異的函數,例如隻在一點處連續的函數,隻在一點處可導的函數等等。
上面狄利克雷函數的表達式是利用分段函數寫出的,那麼它有沒有單個的表達式呢?數學家們發現狄利克雷函數可以利用下面這個式子來表示
小夥伴們可以思考一下,為什麼它就表示狄利克雷函數。
發展狄利克雷函數的發現在20世紀有了更為重大的意義。20世紀初,法國數學家勒貝格(Lebesgue,1875-1941)通過對傳統積分理論的研究,提出了一種新的定積分理論——勒貝格積分。他發現,勒貝格積分是比傳統的定積分更為進步的積分,它囊括了更多的函數形式,而狄利克雷函數就是一個最典型的在傳統意義下不可積,但卻是勒貝格可積的函數。用更專業的語言來講,勒貝格積分是傳統積分理論的完備化,它使得人們對函數與積分的認識更上一層樓,而勒貝格積分也取代了傳統的定積分理論,成為當代數學研究裡面通用的積分理論。而如果想要學習勒貝格積分,就需要進一步學習測度論,這将又是一個很漫長的過程。
最後,就拿勒貝格大神的照片來鎮樓吧!相信每個學習過實變函數的人看到這張照片的人都會瑟瑟發抖。
,參考文獻
[1] 《高等數學》,第七版,同濟大學數學系,北京,高等教育出版社
[2] 《數學分析(下冊)》,第三版,華東師範大學數學系,北京,高等教育出版社
[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE
更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!