是高斯

還是約翰尼斯·厄欽格

前幾天，超模君po了各種動圖讓大家了解不一樣的數學（傳送門），最後一張高斯尺規作圖正17邊形引起了各位模友的激烈讨論：

有模友說看不明白

有好奇他是怎麼想出來的

有說正17邊形高斯并沒有畫出來

甚至在超模君講根号2的故事時（傳送門），也留言說希望講講正17邊形的故事。

既然如此，那今天超模君就将這些問題一并解決了吧。。

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相傳，在1776年的一天，德國哥廷根大學，19歲的高斯像往常一樣，吃完晚飯，開始做導師每天單獨布置給他的數學題。

然後，輕松完成了老師布置的前兩道題。

第三道題是另外寫在一張小紙條上的，是要求隻用圓規和一把沒有刻度的直尺作出正17邊形。

高斯并沒有在意，像做前兩道題一樣開始做起來。。。

雖然感覺這道題做起來有點吃力，他還是堅持想要做出來。

他拿起圓規和直尺，在草稿紙上寫寫畫畫，也嘗試着用一些超常規的思路去解這道題。

經過通宵的演算，他終于解出了這道難題。

當導師得知自己的學生竟然一個晚上就解開了這道有兩千多年曆史的數學懸案時，萬分驚訝，連連誇贊高斯是天才。

原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他隻是不小心才将寫有這道題目的紙條交給了高斯。

多年以後，當高斯回憶起這一幕時，總是說：如果有人告訴我，這是一道有兩千多年曆史的數學難題，我不可能在一個晚上解決它。

這可能就是人們常說的無知者無畏吧。

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通過這個故事，大家都認為正17邊形最早是高斯畫出來的了。

然而，關于尺規作圖正17邊形的故事還有另一個版本。

事實上，高斯在哥廷根大學就讀時，在一次偶然的閱讀中，他知道了用直尺和圓規作出圓内接正七邊形的難題。這使他非常着迷，并決心要功克它。他首先查找出前人的作圖方法，仔細研究他們失敗的原因，通過半年多的努力，他終于作出了正七邊形；接着，正九、正十一、正十三邊形都被他一一克服。沒多久，正十七邊形也被他功克。

有人認為：高斯本人并不會作正17邊形，他隻是證明了正17邊形可以用尺規作出來。

而第一個畫出正17邊形的是約翰尼斯·厄欽格，他于1825年發表了正17邊形的尺規作圖方法。

到底哪個說法是正确的呢？

超模君經過查閱資料，了解到這些：

1796年3月30日，高斯開始在筆記中記錄他的科學發現。

1898年在高斯的孫子保留的遺物中偶然發現了這本筆記，高斯稱之為“日志錄圓的分割定律，如何以幾何方法将圓分成十七等份。

也即是說，高斯于1796年證明怎樣的正多邊形可以用尺規作出來，并發表了研究成果，轟動整個學術界。

就在同年3月30日，他在筆記中記下了正17邊形的作法，然而并沒有發表（确實，相對于證明怎樣的正多邊形可以用尺規作出來，這一點就顯得微不足道了）。

而在1825年，約翰尼斯·厄欽格第一次公開發表正17邊形尺規作圖法。

到了1898年，人們在整理高斯遺物的時候，才發現高斯筆記中的正17邊形作法。

由此，超模君得出結論：高斯并非不會作正17邊形（記到筆記中，沒發表），而約翰尼斯·厄欽格确實是最早給出正17邊形作法的人。

那高斯怎麼就知道正十七邊形是可以用尺規作出來的呢？

因為他數學厲害啊！（小天：請不要敷衍我們。。。）

首先，高斯知道：如果一個正多邊形内角的三角函數能用含有基本算術（加減乘除）和平方根的公式表達出來，那這個正多邊形就能用尺規作出來。

尺規作圖等價于隻使用圓和直線的交點作圖，直線的表達式是二元一次方程，圓的表達式是二元二次方程，所以隻用到了加減乘除和平方根。

而後來他又證明了：隻要正多邊形的邊數n是費馬素數，那麼就能用這樣的公式表達。

當時已知的前五個費馬素數是3、5、17、257和65537，因此高斯等于一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可作的。

不過，正三邊形和正五邊形人們早就會作了，而正257邊形什麼的作起來又太麻煩，所以最後正17邊形就成了最出名的。（因為是高斯啊。。）

1832年，F.J.Richelot出版了一本用尺規制作正257邊形的小冊子，後來一位Hermes教授花了十年的青春畫出了正65537邊形。

那麼正17邊形所對應的三角函數是這樣的呢？

有興趣的可以看一下如下證明：

設正17邊形的一條邊對應的中心角為a，則17a = 2π，即16a = 2π - a。故sin(16a) = -sin(a)

而sin(16a) = 2sin(8a)cos(8a) = 4sin(4a)cos(4a)cos(8a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)

因 sin(a) 不為0故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1

用餘弦函數積化和差公式進行疊代，有：2(cos(a) cos(2a) ... cos(8a)) = -1

令 x = cos(a) cos(2a) cos(4a) cos(8a)

y = cos(3a) cos(5a) cos(6a) cos(7a)

則：x y = -1/2

xy = (cos(a) cos(2a) cos(4a) cos(8a))(cos(3a) cos(5a) cos(6a) cos(7a))

對xy進行展開, 積化和差, 再利用周期性合并同類項，有：

xy = (1/2)(4cos(a) 4cos(2a) ... 4cos(8a) )

即xy = -1

聯立方程組，得：

x = (-1 √17) / 4

y = (-1 - √17) / 4

再設x1 = cos(a) cos(4a)， x2 = cos(2a) cos(8a)

y1 = cos(3a) cos(5a)，y2 = cos(6a) cos(7a)

積化和差，再利用 2(cos(a) cos(2a) ... cos(8a)) = -1 有：

x1x2 = -1/4

y1y2 = -1/4

故同法可解x1，x2，y1，y2：

x1 = (-1 √17 √2 * √(17 - √17)) / 8

x2 = (-1 √17 - √2 * √(17 - √17)) / 8

y1 = (-1 - √17 √2 * √(17 √17)) / 8

y2 = (-1 - √17 - √2 * √(17 √17)) / 8

最後，由cos(a) cos(4a) = x1

2cos(a)cos(4a) = y1 可求cos(a)之表達式：

它是由整數經過加、減、乘、除、開平方構成的。

故正17邊形可用尺規作出。

還有，很多人說這個動圖太快了，看不懂（隻覺得好厲害），那現在超模君來分享一下現代數學家H.W.Richmond的畫法吧！（這個真的可以自己動手畫的哦）

第一步：

給一圓O，作兩垂直的直徑OA、OB，

作C點使OC＝1/4OB，

作D點使∠OCD＝1/4∠OCA

作AO延長線上E點使得∠DCE＝45°

第二步：

作AE中點M，并以M為圓心作一圓過A點，

此圓交OB于F點，再以D為圓心，作一圓

過F點，此圓交直線OA于G4和G6兩點。

第三步：

過G4作OA垂直線交圓O于P4，

過G6作OA垂直線交圓O于P6，

則以圓O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點，

P4為第四頂點，P6為第六頂點。

以1/2弧P4P6為半徑，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點。

via：星雲風暴

本文由超級數學建模編輯整理

部分資料來源于網絡

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