【題目呈現】

如下圖，抛物線y=X²一2x一3與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側)，直線L與抛物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐标為2.

(1)求A、B兩點的坐标及直線AC的函數表達式;

(2)P是線段AC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交抛物線于E點，求線段PE長度的最大值;

(3)點G是抛物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使得以A、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐标;如果不存在，請說明理由.

【分析】

(1)A、B兩點的坐标，令抛物線y=0，解方程可得，∵C點橫坐标已知，代入抛物線可得C點縱坐标，再用待定系數法求直線AC的表達式.

(2)由于PE平行于y軸，P、E兩點橫坐标相同，設出其中一個點的橫坐标，縱坐标分别用相應的函數關系式表示，進而表示出線段PE長度的關系式，求出最大值.

(3)由于A、C兩點确定，那麼以線段AC為邊，為對角線分類讨論。

【答案與解析】

解:(1)令抛物線y=x²一2x一3的y=0，解得x1=一1，x2=3，∴A(一1，0)，B(3，0)，将C點的橫坐标x=2代入y=X²一2X一3，得y=一3，∴C點坐标為(2，一3)，設直線AC的解析式為y=Kx b(K、b為常數且K≠0)，代入A(一1，0)，C(2，一3)，得①0=一K b且②一3=2K b，解得，K=一1，b=一1，∴直線AB的解析式為y=一X一1.

(2)設P點的橫坐标為x(一1≤x≤2)，由于PE∥y軸，E在抛物線上，∴P點坐标為(x，一x一1)，E點坐标為(x，x²一2x一3)，∴PE=(一X一1)一(X²一2x一3)=一x² x 2=一(x一1/2)² 9/4，∴當x=1/2時，PE取得最大值為9/4.

(3)在x軸上存在點F，使得以點A、C、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形，如下圖

①當AC為對角線時，隻能是AF∥CG，設抛物線于y軸的交點為D，D點坐标為(0，一3)，∵C點坐标為(2，一3)，∴CD∥AF，設此時F為F1，G為G1，則G1點與D點重合時符合條件，∵AF1=G1C=2，∴F1點坐标為(1，0).

②當AC為邊，AF2∥G2C，且AF2=G2C時，在x軸下方，G2點與G1點重合時符合條件，∴點F2為(一3，0);當AC為邊AG為邊在x軸上方，到x軸距離為3存在兩個G點，相應的在x軸上存在兩個F點，令抛物線y=x²一2X一3=3，解得x=1±√7，不妨設點G3坐标為(1十√7，3)，點G4坐标為(1一√7，3)，∵對角線G3C的中點(3/2 √7/2，0)，也是對角線AF3的中點，點A(一1，0)∴點F3坐标為(4 √7，0)，同樣，對角線G4C的中點(3/2一√7/2，0)，也是對角線AF4的中點，∴點F4的坐标為(4一√7，0).

綜上所述，符合條件的點F的坐标為F(1，0)或F(一3，0)或(4 √7，0)或(4一√7，0).

另外，用點的坐标平移求F4，F3兩點坐标也比較簡單，由于點A(一1，O)，向右平移3個單位，再向下平移3個單位到C(2，一3)點，∴G3(1 √7，3)點向右平移3個單位，再向下平移3個單位得點F3(4十√7，0)，G4(1一√7，3)點向右平移3個單位，再向下平移3個單位得點F4(4一√7，0).

【反思】

對于平行四邊形存在性問題，有三定，一動;兩定，兩動;一定，三動等幾種情況，尤以第二種情況多見，運用分類讨論的思想，結合三角形全等，勾股定理，中點坐标，以及平移等知識方可解決。

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