常用泰勒公式大全推導-tft每日頭條

常用泰勒公式大全推導

生活更新时间:2025-01-22 13:18:22

用一句話說，泰勒公式就是在一點用多項式函數對一般函數的逼近。它的偉大之處就在于用已知的、簡單的、容易的函數去研究未知的、複雜的、艱深的函數。當然，這裡所說的已知和未知、簡單和複雜都是相對而言。這種逼近有一種很好的特性，就是逼近的效果與多項式的階數直接相關。就好比我要複制一座雕塑。我當然希望複制得越精确越好，但是更高的精度意味着更複雜的工序。如果隻是看起來差不多，那我隻需要用雕刻刀就可以了。但是如果要精确到毫米級，我就需要一種類似于安全系統控制組件複刻師（鑰匙匠，俗稱配鑰匙的）用的機器。

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）1

如果要精确到微米級，那就需要最好的數控機床。

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）2

不過數學上并沒有這麼麻煩，隻需更高階的導數就可以了，結果是這樣的：

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）3

圖中是用下面這個公式來逼近正弦函數

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可以看出，逼近隻在一個範圍内有效，這個範圍随着多項式的階數增加而增大，但是中心都是固定的，都在原點。這就是在一開始講的，泰勒公式是在一點的逼近，逼近的效果随着多項式階數的增加而越來越好，範圍也越來越大。

認真的同學可能會發現，上面的公式沒有最後的餘項。有人會說：既然是餘項，多餘的東西，可以不用管它。确實在很多時候我們都不去考慮餘項是什麼，這裡也沒有寫出來，但這并不代表餘項完全不重要。

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為什麼我們找到的級數可以逼近原來的正弦函數、為什麼逼近的效果越來越好，都是餘項的原因。

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）6

也就是說級數在原點逼近原函數。其次，餘項的分母是幂指數的階乘，階乘的增長速度是比幂乘更快的。

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）7

所以如果高階導數不是很大的話，級數的階數越高，逼近效果越好。那麼進行這樣的逼近有什麼好處呢？首先是它的餘項都是幂函數，有一個自然的分階。對于一個複雜的無窮小量，我們可以通過泰勒展開式迅速地确定它的階數。比如

常用泰勒公式大全推導（如何通俗理解泰勒公式）8

在極限問題中，這個性質可以既可以用來取巧，也可以用來暴力求解——把極限化成無窮小的商然後全部替換成泰勒公式（這樣做的人要有多喪心病狂就有多喪心病狂）。其次泰勒公式的餘項是比較确定的，也就是說逼近的誤差是可以計算的，而且公式裡都是多項式，運算簡單且多次重複，所以很适合用來進行數值計算。

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