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題目呈現

如圖，在平面直角坐标系中，二次函數y=ax² bx--4(a≠0）的圖象與x軸交于點A（--2,0）、C（8,0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D。

（1）求該二次函數的解析式。

（2）連接BC。在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐标；若不存在，請說明理由。

（3）若點P（m,n）是該二次函數圖像上的一個動點（其中m＞0，n＜0），求△BDP面積的最大值及此時點P的坐标。

解析：

（1）待定系數法。将A、C坐标分别代入二次函數解析式中，聯解關于a、b的二元一次方程組，得a=1/4，b=--3/2。所以該二次函數解析式為y=1/4x²--3/2x--4=1/4（x一3）² 一25/4.

（2）分别以C、D、E為等腰三角形頂角的頂點，分三種情況考慮。

當CD=CE時，過點E作EF⊥x軸于點F。如下圖所示。

∴EF∥y軸，

∴Rt△CEF∽Rt△CBO，

∴EF/BO=CE/CB=CF/CO。

而BO=丨yB丨=丨一4丨=4，

CE=CD=xC一xD=8一3=5，

CB=√（BO² CO²）=√（4² 8²）=4√5，

∴EF=5/（4√5）×4=√5。

∴yE=一√5。

CF=5/（4√5）×8=2√5。

∴OF=8一2√5=xE。

∴E（8一2√5，一√5）。

當DE=DC時，連接DB。如下圖所示。

在Rt△ODB中，OD=3，OB=4，由勾股定理得DB=5。

而DE=DC=OC一OD=8一3=5，

可見DE與DB完全重合，點E與點B重合，故E（0，一4）。

當ED=EC時，過點E作EG⊥x軸于點G。如下圖所示。

則DG=GC（等腰三角形三線合一性質）。易知Rt△CEG∽Rt△CBO，得EG/BO=CG/CO。其中CG=1/2CD=1/2（OC一OD）=1/2×（8一3）=2.5。

∴EG=2.5/8×4=5/4.∴yE=--5/4.

OG=3 2.5=5.5=11/2=xE。

∴E（11/2，--5/4）。

（3）過點P作PH丄x軸于點H。如下圖所示。

S△BDP=S直角梯形OBPH一SRt△PHD一SRt△BOD=1/2[4 （一n）]m一1/2（m一3）（一n）一1/2×3×4=2m一3/2n一6。

∵點P在該二次函數圖象上，

∴n=1/4m^2一3/2m一4。

∴S△BDP=2m一3/2（1/4m^2一3/2m一4）一6=--3/8m^2 17/4m=一3/8（m一17/3）^2 289/24。

∴當m=17/3時，S△BDP最大=289/24。此時點P（17/3，一161/36）。

此題對計算能力要求較高。

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