文 | 宇宙物理學

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世界上有多少種力？

迄今為止，人類發現自然界中一共有四種基本相互作用力，包括引力，強力，弱力和電磁力，而引力是其中發現最早、應用最廣的一個。

但是，對于引力的本質的解釋，卻成了目前科學界最頭疼的問題之一，可以這麼說，科學界最希望解決的問題排行榜上，“引力的本質是什麼？”這個問題，可以排到前5的位置。

著名的硬核科幻電影《星際穿越》中，就把解決引力問題，設定為解決人類生存問題的終極方法——這本身就是一種科學素養的深度體現。

《星際穿越》劇照

今天我們不去講引力是什麼的問題，而是要講，萬有引力定律最初是如何發現的問題。

這個發現主要歸功于我們偉大的牛頓；但是，正如牛頓自己所說，他是站在巨人的肩膀上的，這些巨人也對萬有引力的發現起着至關重要的作用。

下面具體介紹。

牛頓對萬有引力定律的推導，是建立在數據分析的基礎上的。

完成數據收集的是大天文學家第谷，完成數據的第一手分析和整理的是，第谷的學生，開普勒。

第谷是一個非常勤奮的天文學家，他三十年如一日地記錄星象，形成龐大的數據集；

開普勒繼承了老師的勤奮，對這些數據進行了計算和整理——這些計算是非常枯燥的——最終得到三個定律，被後人稱為開普勒三大定律。

牛頓的萬有引力定律，最初就是脫胎于開普勒三大定律（當然，毫無疑問，牛頓天才的力學三大定律才是決定性的）。下面簡單介紹一下，開普勒三大定律：

開普勒第一定律：

行星繞太陽運動的軌迹是一個橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點。

開普勒第二定律：

行星和太陽的連線，單位時間掃過的面積是一定的。

開普勒第三定律：

行星繞太陽運轉的周期T和軌道半長軸R之間，滿足以下關系：

注意：這個常數，隻和太陽有關，和行星本身無關。

推導萬有引力定律，最主要的，就是應用這個開普勒第三定律。

牛頓自己的三大定律，當然是推導萬有引力最關鍵的一環。

牛頓建立物理學的基礎——力學；

而力學的基礎就是——力學三大定律，分别被稱為牛一、牛二、牛三。

牛頓第一定律：

牛一，也被稱為慣性定律：物體在不受力的情況下，總會保持原來的運動狀态不變，直到有外力來改變它。物體的這種，保持原有運動狀态不變的能力，被稱為慣性。

慣性隻與質量有關，質量越大，慣性越大。

從現代物理的角度回看，牛一其實是用“慣性”定義了“什麼是質量”，這種質量被稱為慣性質量。

甩出水，是因為慣性

牛頓第二定律：

牛頓第一定律定義了質量，牛頓第二定律又通過質量定義了力是什麼。

力是什麼呢？力就是，要改變一個有質量（即有慣性）的物體的運動狀态，所需要施加的作用。包括大小和方向兩個要素。

這個作用和物體的質量、物體運動狀态改變的快慢（即加速度），三者之間滿足一個非常簡單的關系：

F=ma，這就是牛頓第二定律。

牛頓第三定律：

任何兩個物體之間的作用，都是相互的。你對我有力，我對你也一定有力，而且這兩個力大小相等，方向相反，在同一條直線上。

牛頓第三定律，就是我們熟知的作用力和反作用力的關系。

大炮的後坐力

上面我們介紹了推導萬有引力所需要的基礎定律，這裡還需要一個運動學方面的公式，那就是圓周運動的向心加速度的表達式。

圓周運動向心加速度：

如果向心加速度知道了，根據牛頓第二定律，向心加速度乘以質量就是向心力。

可以這麼簡單的說，維持一個圓周運動，需要一個力，這個力被稱為向心力。（注意，其實并不存在一個向心力，而是其他所有力的合力，被稱為向心力——向心力，并不是某種具體性質的力，而是一個合外力的效果）

向心加速度的表達式如下圖。

圓周運動向心加速度的表達式

不失一般性，把橢圓軌道當做圓軌道，則橢圓的半長軸就是圓的半徑，設為R。

我們設地球和太陽之間的引力為F，太陽的質量為M，地球的質量為m，并且把開普勒第三定律中的常數用K來表示。

則根據牛頓第二定律：

地球受到的力（太陽對地球的力）：

根據相互作用力的原理，太陽的受力（地球對太陽的力）也等于地球的受力（太陽對地球的力）。即：

此時結合開普勒第三定律：（把常數設為K）

簡單聯立上述方程，解得：

我們對這個式子分析：

這個式子表明，太陽對地球的力，與地球的質量m有關，與地球和太陽之間距離的平方成反比，剩餘影響因子，是一個跟太陽有關的常數K。即：

根據力的對稱性，我們可以推斷：地球對太陽的力，一定與太陽的質量M有關，與地球和太陽之間的距離的平方有關，剩餘影響因子，是一個跟地球有關的常數K'。即：

中間的符号，是正比的意思。

根據牛頓第三定律，太陽對地球的力，等于地球對太陽的力，因此，我們結合兩個結論：這個太陽和地球之間的力，一定和太陽的質量有關，又和地球的質量有關，和地日之間的距離有關。即：

以上式子，數學上等價于：

G是一個常數，被稱為萬有引力常數。

這個式子，就是牛頓的萬有引力定律了！

至此，我們用簡單的方程，不需要借助微積分，就推導出了萬有引力定律了！

萬有引力定律的發現是牛頓最重要的貢獻之一。

這個定律和牛頓力學三大定律一起，奠定了整個力學，乃至物理學的基礎。

這個定律的發現，讓我們人類的視野超過了天際，進入宇宙，進入太空。

雖然，引力的本質，目前還沒有定論，但是，就萬有引力定律而言，已經取得了巨大的成功。

推導萬有引力定律，分析牛頓曾經的思路，是一件非常有意思的事情；而用簡單的方法，推導偉大的定律，是我們人類最睿智、最激動人心的表演。

（完）

參考資料：

1. 《費曼物理學講義》
2. 《蘇格爸的奇妙物理》

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