數學關于極坐标的高考題? 函數裡面題型特别多,而且很多題型屬于比較難的,比如含有f(x)和xf'(x)的題型,我來為大家科普一下關于數學關于極坐标的高考題?以下内容希望對你有幫助!
函數裡面題型特别多,而且很多題型屬于比較難的,比如含有f(x)和xf'(x)的題型。
這一類題目如果考察,都是選擇題或者填空題最後一個題,難度算是比較大的。
但是如果能夠把這一類題型裡面的規律和技巧都掌握了,其實很好做出來。
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例一:設函數f'(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0,當x>0時,xf'(x)-f(x)<0.
則使得f(x)>0成立的x的取值範圍為__.
例二:定義在R上的偶函數f(x)的導函數為f'(x),若對于任意的實數x都有2f(x) xf'(x)<2恒成立,則使x²f(x)-f(1)<x²-1成立的實數x的取值範圍為______。
例三:設函數f'(x)是函數f(x)(x∈R)的導函數,f(0)=1,且3f(x)=f'(x)-3,則4f(x)>f'(x)的解集是()。
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第一個題目:
因為題意中有一個xf'(x)-f(x)<0,我們需要找到誰的導數含有這樣的式子。
很顯然g(x)=f(x)/x的話,g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²,包含上面的式子
因為f(-1)=0 f(x)是奇函數,所以f(1)=0。
當x>0時,g'(x)<0,所以g(x)在(0,﹢∞)單調遞減。
當x=1時,g(1)=f(1)/1=0。
又因為單調遞減,所以所以當x>1時,g(x)<0,所以f(x)<0.
同理,當x∈(0,1)時,g(x)>0,所以f(x)>0。
根據奇函數圖像中心對稱,我們能夠判斷出來當x∈(-1,0)時,f(x)<0,當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0。
所以使得f(x)>0的x的取值範圍就是(-∞,-1)∪(0,1)。
第二個題目:
因為題目中有一個2f(x) xf'(x)<2,處理一下可得2f(x) x'f(x)-2<0。
我們需要找到什麼樣的函數求導會出現這麼樣的式子。
很顯然g(x)=xf(x)的話,g'(x)=f(x) xf'(x)。
但是題目中f(x)前面系數是2,所以需要考慮誰求導會出現2。
2x求導會出現2,但是如果g(x)=2xf(x)的話,g'(x)=2f(x) 2xf'(x),而題意中xf'(x)的系數是1,所以不符合題意。
除了2x求導會出現2,x²求導也會出現2,所以我們假設g(x)=x²f(x)的話,g'(x)=2xf(x) x²f'(x)=x[2f(x) xf'(x)]。
又因為題目中的式子是2f(x) x'f(x)-2<0,所以g'(x)=x[2f(x) xf'(x)-2],所以g(x)=x²f(x)-x²。
當x>0時,g'(x)=x[2f(x) xf'(x)-2]<0,所以g(x)在(0,﹢∞)上單調遞減。
又因為g(x)是偶函數,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增。
x²f(x)-f(1)<x²-1這個不等式要向我們構造的g(x)靠近,可以化成x²f(x)-x²<f(1)-1,即g(x)<g(1)。
根據上面g(x)的單調性可得l x l>1,所以不等式的解集為(-∞,-1)∪(1,﹢∞)。
第三個題目:
題意中有3f(x)=f'(x)-3,既然兩邊式子相等,那麼含自變量的部分也應該相等,自變量指數也要相等。
如果是幂函數的話,原函數和導函數肯定不相等,所以f(x)要和e^x相關,因為e^x求導,指數不變。
又因為f(x)和f'(x)的系數不同,所以f(x)求導要出來3,所以f(x)要和e^3x有關。
如果f(x)=e^3x的話,3f(x)=3e^3x f'(x)-3=3e^3x-3 所以兩者還是不相等。
我們可以設f(x)=ae^3x b 那麼3f(x)=3ae^3x 3b=f'(x)-3=3ae^3x-3,所以b=-1。
又因為f(0)=1,所以f(0)=a-1=1所以a=2,所以f(x)=2e^3x-1
求出來f(x)的解析式了,後面的不等式的解集就很簡單了。
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規律總結:
第一:含有f(x)和xf'(x)的話,就是和幂函數有關,兩者相加,構造相乘的函數,兩者相減,構造相除的函數。
第二:如果系數之比是1:1,那麼就是f(x)和x相乘除,如果系數之比不是1:1,那麼就是f(x)和x的系數之比次方相乘除。
比如第二題的2f(x)和xf'(x)關系式,f(x)前面系數是2,那就是f(x)和x²相乘除。
如果是f(x) xf'(x)/2的式子,系數之比同樣是2,所以也是f(x)乘以x²,隻不過還要加個1/2系數。
第三:如果是f(x)和f'(x)相關的等式,那麼就是和e^x有關,如果系數之比不是一比一,同樣适用第二條規律。
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趙國良老師(18254638393)專注高考數學研究,對題型總結比較徹底和到位。
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