楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示（a b）ⁿ（此處n=0，1，2，3，4，5，6）的展開式中的各項系數，楊輝三角最本質的特征是：

它的兩條斜邊都是由數字1組成的，其餘的數則是等于它"肩"上的兩個數之和。

"楊輝三角"出現在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中。楊輝，杭州錢塘人，中國南宋末年數學家，數學教育家，著作甚多。他編著的數學書共五種二十一卷，著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除算法》二卷、《續古摘奇算法》二卷。其中後三種合稱《楊輝算法》，朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。

《詳解九章算法》一書中說道"楊輝三角"圖表源于我國北宋數學家賈憲（約公元11世紀）的"開方作法本源圖"，這說明我國發現這個表不晚于11世紀。因此，我們把此表也叫"賈憲三角"。賈憲的三角表圖和文字描寫，仍保存在大英博物館所藏《永樂大典》中.

利用楊輝三角有兩個作用:

數學家們曾研究過各種正整數在楊輝三角這個無限大的數陣中出現了多少次，奇怪的是數學家們找不到在楊輝三角出現的次數超過8的正整數。1971年，在楊輝三角中出現的次數都小于等于N。

在歐洲，這個表被認為是法國數學家物理學家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623年～1662年）首先發現的，他們把這個表叫做"帕斯卡三角"。不過，這比楊輝遲了近400年，比賈憲遲了600年。由此可見，我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的。

帕斯卡（1623—1662），法國天才數學家，16歲時寫成《圓錐曲線論》，19歲時制造出世界上第一台數字計算器，為概率論、射影幾何作出了傑出貢獻。

"人是有思想的蘆葦"，這是帕斯卡的至理名言1653年，法國數學家帕斯卡在其著作《論算術三角形》中展示了（x 1）ⁿ"的系數表，這個三角形也稱為"帕斯卡三角形。"

帕斯卡、笛卡爾、費馬、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、傅立葉、泊松、柯西、伽羅華、龐加萊、韋伊、嘉當等，法蘭西民族源源不斷地誕生了衆多偉大的數學家，法國人也以此為傲，僅巴黎以數學家命名的街道、廣場、車站等就有百餘處。巴黎二十個街區是以阿拉伯數字命名，并以平面幾何學中的雙曲螺線為序排列。

數學是法國傳統文化中最優秀的部分。帕斯卡名著《思想錄》被稱為法國第一部散文傑作，可以說是一部基督教的詩。我們看看帕斯卡關于空間和時間的冥想：當我想到有限的生命時間，不過是自然界無止境的時間長河中的刹那；當我冥想簡促生活的空間，僅隻是廣闊無邊空間的一小角落。我不禁心悸。同時又為我何生于此時而不是無窮的他時，生于此而不是宇宙另一處所而詭異不已。

例1． 我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中"楊輝三角"就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其餘每個數均為其上方左右

本題考查了多項式乘以多項式，讀懂題目信息并利用好信息是解題的關鍵，利用了特殊值代入法來化簡求值使運算更加簡便．

例2．若一個正整數M能表示為四個連續正整數的積，即：M＝a（a 1）（a 2）（a 3）（其中a為正整數），則稱M是"續積數"，例如：24＝1×2×3×4，360＝3×4×5×6，所以24和360都是"續積數"．

（1）判斷224是否為"續積數"，并說明理由；

（2）證明：若M是"續積數"，則M 1是某一個多項式的平方．

【解析】：（1）因為2×3×4×5＝120，3×4×5×6＝360，120＜224＜360，

所以224不是"續積數"；

（2）∵M是"續積數"，

設四個連續的正整數分别為：n，n 1，n 2，n 3

所以M＝n（n 1）（n 2）（n 3）

變式1. ．一個個位不為零的四位自然數n，如果千位與十位上的數字之和等于百位與個位上的數字之和，則稱n為"隐等數"，将這個"隐等數"反序排列（即千位與個位對調，百位與十位對調）得到一個新數m，

（1）請任意寫出一個"隐等數"n，并計算D（n）的值；

（2）若某個"隐等數"n的千位與十位上的數字之和為6，D（n）為正數，且D（n）能表示為兩個連續偶數的平方差，求滿足條件的所有"隐等數"n．

∴D（n）＝8k 4＝4（2k 1）＝a b﹣6，即a b﹣6為4的奇數倍，

∵n的千位與十位上的數字之和為6，

∴1≤a≤6，1≤b≤5，∴a b﹣6＝4，∴a b＝10，

∴a＝5，b＝5或a＝6，b＝4，∴n＝5511或6402．

變式2. 湘一"追逐夢想"數學興趣小組編了一個"詩•遠方"的計算程序，規定：輸入數據x，y時，若輸出的是代數式稱為"詩S"，若輸出的是等式稱為"遠方M"．回答下列問題：

當輸入正整數x，y時，得到"遠方M"和"詩S"，若"遠方M"為2y＝x2﹣1，求證"詩S"：2（x y 1）是完全平方式．（溫馨提示：對于一個整式A，如果存在另一個整式B，使A＝B2的條件，則稱A是完全平方式，比

有些問題常常不能直接使用公式，而需要創造條件，使之符合乘法公式的特點，才能使用公式。常見的方法是：分組、結合、拆添項、字母化等。

例題4關聯了讓歐拉想了13年的等式。在印度上婆羅摩複多的《婆羅摩修正曆數書》中記有問題：

可用兩平方數和表示的兩自然數之積，而自然數之積仍可用兩平方數和來表示。其後斐波那契在 平方數之書 有更深入且專精的算術研究，因此，丢番圖平方

和恒等式又常被稱為斐波那契恒等式、

追問：三個平方數和或四個平方數和是否有類似的結論？

三個平方數和表示的情形，人們卻沒找到類似的，隻是發現：

對于四個平方數和表示的情形，1730年歐拉開始接觸該問題，潛心研究13年後，于1743年終于找到下面的一個公式：

可以說，尋找公式的渴望是數學和科學發展的驅動力，公式使理論獲得可信性，并建立了解決問題的一種模型。乘法公式是在多項式乘法的基礎上，将多項式乘法的一般法則應用于一些特殊形式的多項式相乘，得出既有特殊性又有應用性的具體結論。

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