在初中幾何裡，全等三角形的證明無疑是重中之重。證明的方法是對兩個三角形，找到對應的邊或角相等的條件，判定兩個三角形形狀完全一緻（通過平移/旋轉/翻折能重合）。

一般而言需要三個條件才能判定兩個三角形全等。哪三個條件呢？我們用A (Augular)表示角，用S (Side)表示邊。

AAA首先是不行的。由于三角形的内角和一定是180°，三個角對應相等，和兩個角對應相等其實是一回事，也即AA就是AAA。但是AAA其實隻能确定兩個三角形是相似的，而不是全等。因為如果把一個三角形的三邊長成比例地擴大或縮小，這個三角形的三個角都能保持大小不變。

但是SSS是能證到的。不同于四邊形，三角形具有穩定性。如果你用三根木條相連釘成一個三角形，它是無法拉動的，形狀是确定的。但是四根木條釘成一個四邊形的話，卻可以拉動成各種不同形狀。

在有兩個角的情況下，還需要一個邊。這個邊可以夾在兩個角之間，也即ASA；也可以是其中一個角的對邊，那就是AAS。這兩種情況下都可以推到全等。事實上，隻要有兩角一邊對應相等，就能證到全等。

如果題目裡給出了一個邊、一個角對應相等，要再添加一個條件證明全等的話，添加一個對應角相等的條件是一定沒錯的。

如果是兩個邊和一個角對應相等呢？照理來說也有兩種情況：這個角夾在兩邊之間（或者說這兩條邊是角的鄰邊），即SAS；或者角是其中一邊的對角，即SSA。

SAS是可以證到全等的。但SSA卻不能。這也是考試時常考到的一個點。

通過作圖我們可以理解這一點。

圖1

在圖1中，△ABD和△ABC滿足∠B=∠B，AB=AB，AD=AC，但是這兩個三角形顯然不全等。

關鍵就在于這個對應相等的角（圖1中∠B）的對邊長确定的情況下，仍然可以在射線BC上有兩個落點。

如果題目裡給出了一個邊、一個角對應相等（這個邊是角的一條鄰邊），要再添加一個條件證明全等的話，可以添加這個角的另一條鄰邊，但一定不要添加這個角的對邊！

所以綜合起來看，一共有SSS、SAS、AAS、ASA四種方法可以證明兩個三角形全等。

直角三角形也是三角形，上面的SSS、SAS、AAS、ASA四種證明方法都可以用，直角本身就可以作為一個A的條件來用。

那為什麼直角三角形還要單獨拎出來一個HL（一條直角邊和斜邊對應相等）呢？

對于這個問題，我們想一想，一個直角、一條直角邊、還有斜邊，相當于一個角、兩條邊的條件。因為直角是斜邊的對邊，所以這就相當于我們上面說的SSA！

隻不過因為在圖1中如果∠B=90°，以A為圓心、斜邊長為半徑作出的C和D兩個點就會分布在AB的左側和右側兩邊，關于直線AB軸對稱。得到的兩個直角三角形形狀還是相同的。所以在直角三角形這種特殊情況下，SSA裡的A是直角的情況下，SSA是成立的。

從另一個角度來理解，直角三角形的三邊長符合勾股定理，知道其中任意兩邊長，第三邊長也就随之确定，所以對于直角三角形來說，SSS、SAS、SSA能相互映證。

所以在直角三角形的證明裡，單獨提出一個HL。對于直角三角形的證明，就有SSS、SAS（兩條直角邊）、AAS、ASA加上HL五種證明方法。

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