作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數學課堂

素數又稱為質數，其定義是在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數；否則稱為合數。素數和合數是一組相對的概念（規定1既不是素數也不是合數）。

人類在很早的時候就開始研究素數了，神秘的素數令無數數學家為之魂牽夢繞。在數學中就有一門分支學科專門研究素數（整數）及其性質，稱為數論，你一定聽聞過我國數學家陳景潤攻克哥德巴赫猜想的故事吧，講的就是這個。

素數從2開始，後續有3、5、7、11等等等等，你是否有這樣的疑問：假如素數如果可數，是否可以數完？換句話說，素數是有限個的還是無窮的？

答案是無窮多個的。今天大小吳就将為大家介紹一下“素數有無窮多個”的4種證明方法~

在此之前，我們首先來了解一下“算數基本定理”。

“

算數基本定理:設為一個大于1的自然數，則有

其中為某自然數，是素數，并且在不記素數排列次序的意義下，上式分解是唯一的。1 Euclid的證明

關于素數有無窮多個的證明，早期經典的證明可以追溯到歐幾裡得（Euclid）的《幾何原本》。這也用到了數學中的反證法。

• 假設是全部素數，

• 令,并且為的一個素因數。

• 則，

• 否則

• 所以是一個新的素數，

• 所以假設不正确，因此素數有無窮多個。

2 Hermite的證明

第二個證明來自法國數學家埃爾米特（Hermite），過程也是非常簡潔優美。

• 考慮任意的正整數，隻需證明必存在大于的素數即可。

• 構造

• 若為素數，則結論成立；

• 若為合數，對于任意的正整數，都不能整除，則必存在一個比大的素數，有。

• 因此素數有無窮多個。

3 利用費馬數證明

另一個證明來源于數學史上一個著名的烏龍事件，數學家費馬發現對于

前五個數~均為素數，于是他猜想所有的都是素數，費馬沒給出證明（他經常這樣幹）。

有趣的是，天降神人數學猛男歐拉發現

利用費馬數證明素數無限可以遵循如下思路：

證明費馬數兩兩互素⇒每個費馬數都有其獨特的素因數（費馬素數的素因數即是它本身）⇒無限的費馬數對應無限的素數

後面兩步比較好理解，現在隻需證明的即是費馬數兩兩互素。考慮如下遞推式：

• 對于上述遞推關系的證明可以簡單地用數學歸納法證明：

1）易知，，則當時，有

成立

2）當時，

也成立

事實上，對于任意兩個不同的費馬數和，則由遞推關系可知

繼而由輾轉相除法可知

• 但由于所有的費馬數均為奇數，所以

• 即任意兩個費馬數互素，證明完畢。

4 數學歸納法

最後一個證明遵循的原理是數學歸納法，非常巧妙。

• 任取素數，則有，即

• 因此的素因數中，至少存在1個不等于的素因數，

• 令，

則的素因數中，存在2個互不相等的素因數、。

• 同理因為，因此的素因數中，至少存在1個不等于和的素因數，

• 令，

則的素因數中，存在3個互不相等的素因數、、。

• 假設至少有個互不相等的素因數，

• 因為，因此的素因數中，至少存在1個不等于、、

• 令，

則的素因數中，存在個互不相等的素因數、、、...、。

• 由數學歸納法可知，素數有無窮多個。

參考文獻[1] (德)Martin Aigner，Günter M.Ziegler.數學天書中的證明（第三版）[M].馮榮權等譯.高等教育出版社，2009.

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