五種方法證明正方形内線段的倍長關系

在初中幾何證明題教學過程中，一題多解非常有利于鍛煉學生的解題思維，也幫助學生從不同角度去解析題目中的條件，從而對題目理解更深刻，而這些方法之間，有共通之處，也有差異之處，一道題兩種解法其實勝過用兩道題，因此多解的題也十分難得，命題時留下多條通道，更是充分體現了命題人的智慧與寬容。

題目

如圖，點O為正方形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F.求證CE=2OF

通常情況下，八年級階段證明線段的倍長關系，首先想到的定理是中位線定理，在這個定理的描述中，直接提到了線段之間的倍長關系，所以思路一從聯想到中位線開始也符合學生學習的認知過程。

由于中位線定理需要兩個中點的條件，那麼題目中有沒有出現中點條件呢？

不難發現，正方形ABCD的對角線交點O，就是AC中點，而結論中的CE，恰好和AC構成一個三角形△ACE，于是便可在這個三角形中來構造中位線。

△ACE有三條邊依次是AC、CE和AE，其中AC邊上已經存在中點O，CE是它的第三邊，于是需要在AE上取中點G，然後連接OG，如下圖：

從圖中可以看出CE=2OG，于是剩下的問題就是證明OF=OG了，通過正方形的性質我們可以計算出∠CAB=45°，AE是它的角平分線，從而得到∠CAE=22.5°，正方形對角線互相垂直且平分一組對角，得到∠AOF=90°，∠ACB=45°，所以∠AFO=67.5°，∠AEC=22.5° 45°=67.5°，至此我們得到了等腰△OFG，即OG=OF，所以證明了CE=2OF；

緊接上面的思路，既然我們選定了△ACE來構造中位線，一定要在AE上取中點嗎？CE上行不行？

當然可以，在CE上取中點，相當于将CE分成兩半，也有利于證明結論，于是取CE中點H，如下圖：

許多在上一個思路中已經得到的結論，不再重複，此時CE=2EH，那麼我們的目标便隻剩下證明EH=OF了，同樣計算出∠BEF=67.5°，∠BFE=22.5° 45°=67.5°，即等腰△BEF，同樣還有一個等腰△BHO，所以兩腰分别相減，得到EH=OF，所以證明了CE=2OF；

前兩個思路當中，我們都利用了點O為AC中點，從而構造出了以AC為一條邊的三角形中位線，這個三角形除了是△ACE之外，還能是其它三角形嗎？

不妨加倍延長AF，使FM=AF，如下圖：

現在在△ACM中，OF是中位線了，于是CM=2OF，那麼我們隻需要再證明CM=CE即可。

再次計算∠CEM=∠BEF=67.5°，由于OF∥CM，因此∠M=∠AFO=67.5°，所以∠CEM=∠M，得到等腰△CEM，即CM=CE，所以證明了結論CE=2OF；

除了使用中位線定理，全等三角形也可用于證明線段的倍長關系，通常情況下稱之為截長補短，所以過點C作CN∥AE，達到這個目的，如下圖：

△AOF≌△CON，這非常容易找到全等的三個條件，用AAS或ASA均可，我們成功地将OF“加倍”了，因此剩下的任務就是證明FN=CE，再次利用計算出的角度關系，∠BCN=∠BEF=67.5°，∠BNC=∠BFE=67.5°，得到兩個等腰△BEF和等腰△BCN，兩腰相減得到CE=FN，所以證明了結論CE=2OF；

除了利用全等三角形進行等量轉換，中位線長證明倍長關系之外，還有一類定理描述了邊長之間的關系，隻不過是特殊三角形即直角三角形，那就是勾股定理。

在正方形中，最容易找到的直角三角形是等腰直角三角形，非常得多，利用好它們，可以讓證明更“數字化”。

從哪入手呢？

AE是∠CAB的角平分線，這立馬讓人想起“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”，點F和點E都在這條線上，不妨選擇其中一個點，将它到兩邊的距離補充完整，例如過點E作EP⊥AC，如下圖：

結合前面已經有的結論，我們設BE=x，則EP=x，BF=x，圖中出現的等腰Rt△有△PCE、△AOB，我們就利用這兩個足夠了，根據等腰直角三角形斜邊是直角邊長的√2倍，可表示出CE=√2x，于是BC=(√2 1)x，所以在△AOB中AB=(√2 1)x，可表示出OB=(1 √2/2)x，所以OF=OB-BF=√2/2x，咦！發現它正好是CE的一半，所以證明了CE=2OF.

不同的解法其實是源自于不同的出發點，即在讀題時先想到哪個定理，就決定了走上哪條道，本題較為簡單，條條大道通羅馬，涉及到的知識包括中位線、全等三角形、正方形的性質、勾股定理、特殊直角三角形三邊關系等。

在平時的教學過程中，有意識地引導學生從不同角度思考問題，非常有必要，因為學生學習的側重不同，有些學生喜歡用全等，有的學生執着于中位線，還有學生愛用勾股定理，這都可以，反倒是全班一個思路走到黑，不太合适。

課堂上每當講完一種解法後，一定要關注學生的聽講狀态，避免出現“反正我會了，不用聽了”這種心态，培養求知欲。

雪浪紙

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