例27 如圖4-70，已知：C、D是以AB為直徑的半圓上的兩點，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别為E、F，DG⊥OC垂足是G。求證：CE=CF

圖4-70

分析：本題條件中出現了DF⊥AB，DG⊥OC，也就是∠DFO=∠DGO=90°，于是就可以應用圓周角的基本圖形或者圓内接四邊形的性質進行證明，也即可得G、O、F、D四點共圓，又因為F O、E成一直線，所以∠COE=∠GDF。另一方面，由于∠DFO和∠DGO都是圓周角，且它們都等于90°，所以又可應用半圓上的周角的基本圖形的性質進行證明，于是聯結OD（如圖4-71），就可得OD是四邊形GOFD的外接圓的直徑。再由條件∠CEO=90°，所以E也在以OC為直徑的圓上，這個圓也就是△CEO的外接圓。而OC和OD是以AB為直徑的半圓的兩條半徑，當然相等，所以四邊形GOFD和△CEO的外接圓就是兩個等圓，而我們已經證明相等的這兩個角，即∠COE和∠GDF是這兩個等圓的圓周角，從而就可推得它們所對的弧和所對的弦都相等，也就可以證明CE=GF。

圖4-71

由于本題的條件中出現了AB是半圓的直徑和DF⊥AB，所以也可應用垂徑定理的性質來進行分析。但現在DF僅是半弦，所以應将另一半先作出，也就是延長DF交以AB為直徑的⊙O于H，那麼F就是DH的中點。又因為OC是⊙O的半徑且OC⊥DG，所以也可以應用垂徑定理， 也就同樣是延長DG交⊙O于K，得G是DK的中點，這樣就出現了兩個中點，成為多個中點問題，從而可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明。由于F、G所在的線段有公共端點D，可以組成三角形，所以FG這兩個中點的連線就是三角形的中位線，而現在圖形中是有中位線，但三角形不完整，從而就應将三角形的邊添上，也就是聯結KH（如圖4-72），就可得KH=2GF。再由條件AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，就又可以應用垂徑定理，于是延長CE交⊙O于M，又可得E是CM的中點，CM=2CE。這樣要證明CE=GF，就可以轉化為證CM=KH，或者也就是要證弧CM=弧KH。由CM⊥AB，DH⊥AB，可得CM∥DH，所以弧CD=弧MH。而由OC⊥DK又可得弧CD=弧CK，于是弧CK=弧MH，所以弧CM=弧KH就可以證明。

圖4-72

例28 如圖4-73，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，過B的直線交⊙O、⊙O′于C、D。兩圓的弦CE、DF的延長線相交于G。求證：A、F 、G、E四點共圓

圖4-73

分析：本題要證明的結論A、F、G、E四點共圓，是一個四點共圓的判定問題，所以可應用圓周角的基本圖形或圓内接四邊形的性質來進行分析。由于圖形中這個圓内接四邊形尚未出現，所以聯結AE、AF，由于G、F、D成一直線（如圖4-74），那麼問題就成為要證∠DFA=∠GEA。又因為在⊙O中，也出現了A、E、C、B四點共圓，所以用同樣的方法，聯結AB（如圖7-75）後，可得∠GEA=∠CBA，這樣問題又成要證∠DFA=∠CBA。由于在⊙O中，也出現了A、B、D、F四點共圓，且D、B、C成一直線，所以這個性質是可以證明的。

圖4-74

圖4-75

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