直角三角形的内切圓半徑r=ab/(a b 根号(a^2 b^2))，其中a,b是直角三角形的兩條直角邊。你知道這個公式是怎麼來的嗎？
這裡至少關聯到四個公式：
第一個是勾股定理的公式，直角三角形的斜邊c的平方等于兩條直角邊a和b的平方和，即c^2=a^2 b^2，從而有c=根号(a^2 b^2)。
第二個是直角三角形的周長公式，直角三角形的周長C等于三邊的和，即C=a b c=a b 根号(a^2 b^2).
第三個是我們常用的直角三角形面積公式，直角三角形的面積S等于兩條直角邊的積的一半，即S=ab/2。
第四個公式平時我們用得少，是具有内切圓的多邊形的面積公式，因為三角形一定有内切圓，所以直角三角形的面積公式也适且這個公式，它就是直角三角形的面積S等于周長C與内切圓半徑r的積的一半，即S=Cr/2. 這個公式的證明也是比較有趣的，有興趣可以自己動手試試看。
不難發現，第三個公式和第四個公式可以通過等量替換得到ab=Cr，因此r=ab/C，代入第二個公式，就可以得到直角三角形的内切圓半徑公式：r=ab/(a b 根号(a^2 b^2)).
如果要把這個公式死記硬背下來，肯定是很難的，如果能夠理解，就有可能把它記下來，而且同時還可以學會并記熟推出這個公式的另外四個公式。不要小看這個公式，在中考甚至是高考這樣的大考中，一旦可以運用到，就能大大地減少運算量和節省解題的時間。
另外對于特殊的直角形，兩個三角尺三角形，這個公式就可以化成比較簡單的形式，比如對于含有30度角的直角三角形，設較短的直角邊為a，則較長的直角邊為a倍根号3，斜邊就是2a，周長為(3 根号3)a，所以内切圓的半徑r=a^2根号3/((3 根号3)a)=(根号3-1)a/2，即内切圓半徑是較短的直角邊的(根号3-1)/2倍。
而等腰直角三角形的直角邊a=b，斜邊c=a倍根号2，所以周長為(2 根号2)a，所以内切圓的半徑r=a^2/((2 根号2)a)=(2-根号2)a/2，即内切圓半徑是直角邊的(2-根号2)/2倍。
并且我們可以由r=ab/(a b 根号(a^2 b^2))<=(2-根号2)根号(ab)/2，知道當a=b時，半徑r=(2-根号2)/2倍最長，即在一條直角邊不變時，等腰直角三角形的内切圓半徑最長。
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