現在我們正式來開始學習微分三大中值定理中的第一個：羅爾定理！羅爾定理是由費馬引理變化而來，上次我們大概用圖形來表示了一下什麼事費馬引理。大家可以參照：微分中值定理在說什麼？——費馬引理介紹。現在我們還是先來看看羅爾定理是怎麼定義的，然後再來看看羅爾定理和費馬引理之間的相同和不同點。
羅爾定理是這樣定義的：
如果函數 f(x) 滿足以下條件：
（1）在閉區間 [a,b] 上連續，
（2）在開區間 (a,b) 内可導，
（3）f(a)=f(b)。
結果我們就會得到：則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
這兒的 ξ這個符号，其實沒有實在意義，換成x0,m等符号都可以。 現在我們将這三個條件和費馬引理比較可以發現不同點有兩個：
（1）費馬引理說的是領域範圍，羅爾定理說的的是區間範圍。
（2）羅爾定理多了一個f(a)=f(b)的條件。
為什麼會有這兩個不同條件，這兩個不同點是用來排除什麼情況的呢？我一一為大家說明。
①單調可導
②非單調可導
③不可導
條件（1）的情況我們分析完了，現在我們來看看條件（2）的情況。
條件（2）在開區間 (a,b) 内可導，這個條件的作用就是排除③不可導這種情況。就隻剩下①單調可導②非單調可導這兩種情況。即隻剩下：
①單調可導
②非單調可導
現在條件（1）、條件（2）都分析完了，現在我們繼續看條件（3）的引入會發生什麼變化。
條件（3）f(a)=f(b)這一條件，就是排除①單調可導這種情況，将②非單調可導這種情況進行了修正。即是出現如下圖的形式：
這個時候我們觀察就可以得到這完全就是費馬引理嘛，隻不過不在是領域，而是變成了一個區間。變成區間就可以存在很多的極值，于是就有至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0這樣的結論。
如果要給出具體的數學證明，其思路是：條件（1）和條件（3）可得到，在（a,b）區間至少存在f(x)的一個極值。加上條件（2），就變成了費馬引理問題，得到結論！
後面再繼續講解拉格朗日中值定理！
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