線性代數存在于幾乎所有的科學和工程領域，比如統計學、物理學、信号處理，和機器學習。線性代數中最核心的一個操作是解不同的矩陣方程，包括解線性方程組和特征向量等。在傳統計算機上，解矩陣方程需要一些精心設計的算法，如高斯消元法、LU分解法，然後在多項式時間内（比如O(N³)，N是矩陣行/列數）獲得方程解。

在大數據時代，人們要處理的數據呈爆發式增長，而很多數據處理本質是一個矩陣方程問題，如谷歌的網頁排序（PageRank算法）、利用超級計算機模拟量子效應（解薛定谔方程）。随着摩爾定律的失效，以及由于馮諾依曼架構存儲、計算分離的固有限制，想更快、更省地完成數據處理變得越來越難，而計算的時間和能耗效率在大數據時代顯得尤為重要。

近年來，存内計算（in-memory computing）興起，通過在存儲單元内完成計算将顯著提高計算效率。一個典型的存内計算例子是利用阻變存儲器（或稱憶阻器）的交叉陣列一步完成矩陣-向量乘法的運算，從而快速完成包括訓練神經網絡在内的大數據任務。然而，一步解矩陣方程，如線性方程組Ax = b，仍然是一個挑戰。在我們最新的PNAS文章裡，我們報道了利用交叉存儲陣列，通過引入反饋電路，可以一步解線性方程組和矩陣的特征向量，進而實現一步解微分方程，包括傅裡葉方程、薛定谔方程，和一步完成谷歌的網頁排序。

對于解線性方程組Ax = b，我們采用的電路如圖1(a)所示。電路中包含了一個交叉存儲陣列，陣列中每一個行線和列線之間有一個阻變存儲器件，它的電導值一一對應于矩陣中的一個元素值。已知向量b由行線的輸入電流表示，通過運算放大器（運放）引入的負反饋機制将使行線虛接地，從而列線上運放的輸出電壓可以表示未知向量x的解值。由于矩陣A以非易失的形式存儲在交叉陣列中，一旦施加輸入電流，相應的線性方程組就能一步得到解答。實驗中，我們存儲的矩陣A如圖1(a)所示。圖1(b)給出了一個相應的線性方程組的實驗解，以及它的解析解。可以看到，實驗解十分接近解析解（相對誤差在3%），從而證明了我們方案的可行性。逆矩陣也是線性代數中一項非常重要的内容，它也可以通過求解多個線性方程組獲得，實驗解和解析解的比較如圖1(c)所示。

圖1. 線性方程組求解電路及求解結果。

阻變存儲器件的電導值隻能為正數，因此圖1(a)的電路隻适用于解系數為正的線性方程組。為了使我們的方案具有普适性，即，解任意實數的線性方程組，我們進一步拓展了電路，如圖2(a)所示。圖中利用了兩個交叉陣列和反相器，實現了兩個正矩陣之間的差，從而能夠代表任意實數矩陣。基于該普适的線性方程組求解電路，利用有限差分法，我們求解了一個微分方程。如圖2(b)所示，在兩個電極之間施加一個電壓，電極之間導線上的溫度分布可以用一維靜态傅裡葉方程來描述。圖2(c)給出了該微分方程的電路解，可以發現與方程的解析解完美重合，從而證明了我們的電路用于快速求解實際問題的可靠性。

圖2. 針對任意實數矩陣的線性方程組求解電路，及求解熱傳導的一維傅裡葉方程。

基于交叉存儲陣列和運放的負反饋機制，我們還能求解矩陣方程Ax = λx，λ為矩陣的特征值，x為相應的特征向量。電路如圖3(a)所示，矩陣A依然由交叉陣列表示，λ由跨阻放大器的跨導表示，反相器的輸出電壓即為待解的x，從而實現一步求解特征向量。需要注意的是，圖3(a)電路用于求解正特征值的特征向量，而假如求解負特征值的特征向量，将反相器移去即可，負特征值的絕對值依然由跨阻放大器的跨導表示。和線性方程組求解電路一樣，特征向量求解電路也可以拓展到任意實數矩陣。谷歌公司的網頁排序算法（PageRank）本質上就是求解一個随機矩陣的最大特征值的特征向量，因此，我們的電路可以用于一步實現網頁排序，而不需要繁複的疊代算法，從而為搜索引擎提供加速。圖3(b)表示了各科技巨頭公司的Wikipedia網頁之間的連接情況（網頁i指向網頁j代表網頁i引用網頁j），圖3(c)則給出了電路解的排序結果和解析解之間的比較，可以發現二者排序一緻。

圖3. 特征向量求解電路及PageRank。

薛定谔方程HΨ = EΨ是量子力學的基礎，為了獲得一個量子系統的波函數分布，必須求解相應的薛定谔方程。作為一個微分方程，薛定谔方程可以通過有限差分法轉化為一個特征向量問題。圖4(a)是一個一維量子勢阱，為了求解它的基态波函數，我們将待求解的波函數離散化，從而将哈密頓量H 轉化為一個矩陣，基态能量E 則是最小特征值（負數），而離散化Ψ則是待求解的特征向量。圖4(b)給出了該波函數的電路解，可以看到它很好地描述了一維量子勢阱基态的波函數分布，因此證明了我們的電路具有很大的潛力用于加速模拟量子系統，比如在新型材料合成和新型藥物開發等領域。

圖4. 利用特征向量求解電路解一維量子勢阱的基态波函數。

在我們的工作中，通過利用非易失的阻變存儲器（憶阻器）交叉陣列和引入負反饋機制，常見的線性代數問題，包括解線性方程組、解特征向量、解微分方程可以在一步内完成，從而顯著提高計算速度，同時降低計算能耗，為未來的存内計算系統應用于實際的大數據問題中打下了堅實基礎。

該工作由來自意大利米蘭理工大學的一支團隊完成，團隊專注于利用新型存儲器件加速傳統計算和機器學習的開發。孫仲博士為論文的第一作者，Daniele Ielmini教授為論文的通訊作者。

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