自然常數、納皮爾數、歐拉數，這些詞彙都是對表示常數的同一符号“e”的稱謂，現今，術語中更習慣于稱之為“自然常數”。它和π一樣，是數學中最重要的常數之一，但若按對其研究或發現的時間早晚來說，它的知名度可能不及π，不過，其一經“出世”，名氣也絕不亞于π。

據說，是瑞士數學家雅各布·伯努利（伯努利一家子很厲害，都是數學家，研究成果還都頗豐）在研究複利——說白了就是利滾利的計算的時候，發現了“e”的身影，但可惜的是，他知道“e”的值應在2和3之間，卻沒有确切地計算出來。具體是怎麼樣的複利，讓“e”現身了呢，可以用下圖例子來诠釋（假設本金為1，年利率為100%），

圖1

如上圖所見，這裡所謂的“複利”，即是一年結一次息、半年結一次息、一季度結一次息亦或一月結一次息……，這樣計息的結果，讓我們看到了眼熟的表達式：

圖2

随着n的不斷增大，通過計算上式的值，它越來越趨近于某一值，也就是前述雅各布給出的結論——在2和3之間，即相當于求上式的極限：

圖3

誰是第一個發現的這個極限值，這個無從考證了，不過，最早的線索是蘇格蘭數學家約翰·納皮爾于1618年出版的對數著作《奇妙的對數表的描述》附錄中的一張表中出現了自然常數e的身影，他得到了近似等于1/e的計算結果，這是巧合還是有意為之，現在已不得而知。

第一個讓“e”現形的人，即數學界公認的所有人的老師“歐神”歐拉，歐拉在試圖解決雅各布提出的問題時，給出了e的具體結果，并證明了e是無理數。歐拉将圖3中的1/n用x/n代替，從而得到

圖4

并推導出了圖4的級數展開式：

圖5

歐拉借此計算出了e的小數點後18位，并通過e的連分式形式證明了e是一個無理數，e的連分式型如下式：

圖6

歐拉根據圖5乘勝追擊，他把x換成ix（沒錯，i就是那個虛數單位），得到：

圖7

其中實部即cosx的級數展開式，虛部即sinx的級數展開式，由此即可得

圖8

圖8所示的等式用一種簡約而不簡單的方式，将三角學、代數學以及分析學三個數學分支緊密地聯系了起來，歐拉進一步地令x=π，從而得到宇宙間最閃耀奪目的最美公式，也即宇宙第一公式——

圖9

一個表達式将數學中最基本的五個常數——e、i、π、1、0聯系到了一起，恐沒有比這更神奇的事情了。

e的無理性被證明後，它是超越數（不是任何一個整系數多項式的解）的證明要遲至一百多年後于1873年由法國數學家埃爾米特給出，證明長達30多頁，可見證明一個數是否為超越數，其難度之大。

人們通過觀察自然事物——比如：一縷袅袅升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕蕩開的漣漪，數隻緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁着旋舞的繁星……獲知渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，其在極坐标下的曲線函數即

圖10（r為極徑、θ為極角，a和b均為常數）

人們在研究一些實際問題時——如生物的生長、繁殖和衰變規律等，不少都與e有關。這或許就是“自然常數”這個名稱的由來。

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