在一條數軸上，既有無理數，也存在着有理數，這些數相互“緊挨”着湊在一起，構成了實數。

說到實數，相信大家都非常熟悉，它應該也是日常生活中用到的最多數學知識内容之一。不過，在幾千年前的人類社會，當時的數學界并沒有真正認識到無理數的存在，數學的研究和發展基本上隻停留在有理數的範圍之内，解決問題一般用整數和分數來進行計算。

那麼無理數是如何出現在數學這個大家庭當中呢？

​說到無理數的出現，就不得不提一個人，那就是畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯是古希臘時期著名的數學家、哲學家，他和他的畢達哥拉斯學派是最早把數的概念提到突出地位的學術流派。畢達哥拉斯對數學的癡迷，可以說是達到了狂熱的程度，他認為人類生活的世界，可以用“數”來解釋一切，認為“數”是這個世界萬物的本原。

畢達哥拉斯認為宇宙的一切事物的度量都可用整數或整數的比來表示，除此之外，就再沒有其他了。

如一個蘋果的“一”可以用數“1”來表示，兩個人的“兩”也可以用數“2”來表示，這讓人們相信“數”是構成現實世界的基礎，基于這樣的簡單邏輯關系，畢達哥拉斯學派認為數學存在的意義，并不是為了計算、證明、推理等，而是可以幫助人類探索大自然的奧秘。

​畢達哥拉斯學派把數學和生活之間進行聯系，得出一些邏輯關系，這些邏輯關系在今天看來屬于比較簡單和低層次，但在幾千年前的人類社會，确實是非常大的進步，給當時哲學和數學的發展，帶來巨大的影響。

因此，畢達哥拉斯學派就此提出了“萬物皆數”、“數是萬物的本質”、“存在由之構成的原則”等抽象和誇大的數為宇宙本原的理論，将“數”神秘化，認為“數”是衆神之母，它是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則，試圖建立起整個宇宙是“數”及其關系的和諧的體系。

俗話說物極必反，當畢達哥拉斯在神話“數”的路上越走越遠的時候，他學派當中的一名學生希帕索斯發現一個不可理解的問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？或是認為等腰直角三角形的直角邊與其斜邊是不可通約的。

​希帕索斯善于觀察、分析和思考，他經過大量的計算和研究，發現這一對角線的長度既不能用整數表示，也不能用分數來表示，并不存在于已知的數當中，也就是說“它”是未知的。

希帕索斯把這一未知的數告訴了畢達哥拉斯本人以及學派的其他成員，卻引起了大家的恐慌。

因為畢達哥拉斯學派一直認為“萬物皆數(指整數)”，數學的知識是可靠的、準确的，而且可以應用于現實的世界，數學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。

畢達哥拉斯學派一直認為任何量，在任何精确度的範圍内都可以表示成有理數，這在當時的西方數學界屬于至高無上的信仰和權威。現在出現一個未知的數，卻顯得那麼“無理”，無法用整數和分數來表示，這自然就與整個畢達哥拉斯學派學内部形成了對立。

​因此，畢達哥拉斯學派所建立起的“萬物皆數(指整數)”的理論，卻被希帕索斯發現的“未知數”給無情推翻了，更糟糕的是面對這一恐慌，畢達哥拉斯學派卻毫無解決辦法。

畢達哥拉斯學派為了掩蓋這一“無理數”的存在，就把被希帕索斯投進了大海，處以“淹死”的懲罰。

邊長為1的正方形其對角線長度等于√2，這樣簡單的計算題很多人都會，也很容易理解。不過，在當時的數學界，卻引起極大的恐慌，掀起了一場巨大風暴。

√2的出現直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，對畢達哥拉斯學派和西方數學界帶來了緻命打擊，導緻人類曆史第一次數學危機的發生。

第一次數學危機是數學史上的一次重要事件，以√2的發現為導火線，最終以無理數的定義出現為結束标志。

​第一次數學危機的出現和解決，改變了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時标志着西方世界關于無理數研究的開始。

第一次數學危機的順利解決，給當時的西方數學界帶來極大的影響，特别是對古希臘人來說，這些影響更加深遠，如整數的崇高地位受到挑戰和質疑，人們也開始認識到幾何學的某些真理與算術無關，一些幾何量也并不能完全由整數及其比來表示，而數卻可以由幾何量表示出來。也認識到直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是準确可靠的。

從此，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位，古希臘人從一個極端走向另一個極端。如希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系，這也算是第一次數學危機的自然産物，給數學發展帶來進步。

​不過，對于其他古文明來說，就沒有這麼幸運，如對于古代中國、古埃及、巴比倫、古印度等國的數學發展來說，并沒有經曆類似的數學危機，繼續走着以“算術”和實用為主的發展道路。

如據史籍記載，雖然在古代中國就很早發現了無理數，但古代中國數學家卻滿足于實際應用的數的運算，從開方不盡的計算過程入手，通過計算方式來認識并建立其法則。

第一次數學危機的發生和解決，完全改變了東方世界和西方世界的數學發展，希臘人開始研究幾何量的長度關系，從線段不可公度的幾何角度入手，用邏輯方法進行探讨，形成了歐幾裡得《原本》的公理體系與亞裡士多德的邏輯體系，為世界數學發展作出了另一種傑出的貢獻。

不過，雖然古希臘人經過第一次數學危機走上了不同的數學發展道路，但又是走向了另一個極端，從“數”走向“形”，這讓古希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，人為的分割了數與形之間的緊密聯系。這種極端化發展形式，最大的惡果就是古希臘數學家完全抛棄了無理數，直接限制了算術和代數的發展，造成相關基本理論非常欠缺，而這樣的極端發展形式，整整影響了歐洲兩千多年的數學發展。

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