複數怎麼化成矩陣?作者 | 劉洋洲來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝，接下來我們就來聊聊關于複數怎麼化成矩陣?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

複數怎麼化成矩陣

作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

多項式函數的函數圖像相信大家都有所了解：一次函數是直線，二次函數是抛物線……然而這都是在實數域上的讨論。本文嘗試可視化多項式在複平面上的作用，從而給出代數基本定理更為直觀的理解，讓我們一起領略複數世界的奇妙現象。

關于複數的知識我在前面的文章有過論述（從複數到分形——Julia集、Mandelbort集簡介，點擊鍊接查看文章），具體細節可以參考此文。下面我們簡要叙述一下關于複數的基本知識。

複數是2維的數，其全體構成是複平面，這是認識複數最方便的幾何對象。我們中學接觸的實數域上的連續函數，都可以在坐标系下畫出曲線；然而，以複數作為變量的函數——複變函數，在複平面上是無法畫出曲線的，因為複變函數本質上是複平面到自身的變換。

複數的加法是平移變換，乘法是旋轉和伸縮變換。歐拉公式十分直白地體現了複數乘法的特性：

即模長相乘，輻角相加。

對于函數，用歐拉公式去表示，其幾何意義很顯然：将模長變成原來的n次方，輻角擴大為n倍。

上圖這是平方函數對于複平面的作用，我們看到原來的正交的網格變成了彼此正交的抛物線（即所謂的共形變換），請讀者自行證明。

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這個變換直觀上看就好像是将複平面沿負實半軸剪開，然後繞着原點環抱，形成雙層結構（如下圖）。

雙層結構對于平方根函數，即平方函數的反函數有重要的意義，它形象生動地解釋了為什麼平方根有兩個，即

因為它們位于不同的層——分支。這樣一來，平方根函數（其實不是嚴格意義上的函數，準确地來說是多值函數）變成一個真正的（單值）函數了。數學家将這一思想推廣，這樣的曲面被稱為黎曼曲面。這些曲面在三維空間表示不可避免産生自交，但這并不影響我們的判斷。

當我們圍繞

為了看清多項式函數對于複平面的作用，我們不妨以代數基本定理的視角觀察，即把多項式函數分解為一次因式的乘積：

允許，即重根的情況。這樣一來，多項式函數可以視為對複平面逐次進行乘積變換。為方便讨論，我們不妨令多項式函數的首項系數.

設

當時，複平面沿着方向平移了個單位；

當時，如下圖，設和是多項式的兩個零點，即和，是複平面上其他任意一點. 兩個橙色向量恰好就代表着複數.

這兩個複數相乘，其模長即是兩複數模長乘積，關鍵在輻角：兩輻角之和.

這有什麼奇怪呢？确實，這就是我們在前文鋪墊的複數乘積的幾何意義，沒什麼特别的。但是，如果我們讓上圖點沿着包圍和的綠色大圓轉一圈，你會發現，的輻角增加了——兩圈！這相當于繞着兩個零點各轉了一圈。

如果我們隻是在某個點周圍轉圈如下圖，情況則會稍加不同：當繞着正向旋轉一周時，複數的輻角始終在一個很小的範圍變化，即，輻角對并沒有貢獻。

特别地，讓兩點逐漸重合，函數就退化為重根的情形：

這與我們讨論過的平方函數是一回事。

讓我們回到非重根的情形。多項式的像在每個根局部，和複平面上一點局部類似，此時繞着某個根旋轉，和繞一次函數的效果是一樣的，輻角的增加都是；然而當閉曲線充分遠離全體根，的拓撲特性開始顯現，從而實現原像複平面轉1周，像上就會轉周，同理可得，對于而言會轉周。

我們發現輻角增加的圈數與根的個數一一對應，而這恰恰是複變函數中對于輻角定理的洞見：

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我們忽略方框中的積分，隻看左右兩側的表達式：表示函數沿着曲線轉動所增加的輻角，其中與分别表示 在的内部的零點和極點的個數，而我們考慮的是多項式函數，不存在極點，即，所以對于多項式函數的輻角定理：

即輻角的增加與零點數一緻。

而輻角定理恰恰蘊含代數基本定理：一元次代數方程在複數域有個根。

所以我們隻要證明：任意一元次多項式，沿半徑充分大的圓的輻角增量一定是，于是一定有個零點。而根據儒歇定理（Rouche's theorem），多項式函數的輻角變化，當圓充分大時，隻取決于最高次幂（其他較低次幂的項與之相比微不足道），而幂函數的輻角增量和次數相關，從而一舉完成了代數基本定理的證明。

需要注意的是，本文并不是要去證明代數基本定理，否則有循環證明之嫌：因為我們畫的各種曲面，本就是基于多項式的分解。不過，相信這樣的分析不是徒勞的。

數學易于知，卻難于感。感，就是具備人類可以接受信息的形式；知，就是通過邏輯推理得到正确結果的過程——一個是感性，一個是理性。藝術是可感而難知，如何讓數學像藝術一樣讓可感亦可知，令人駐足欣賞，不是一件容易的事情。這也是我學習數學的動力和寫作的初衷。

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