凸四邊形ABCD的中線EF(連接上下對邊的中點連線)把它的面積分成相等的部分。
證明這個四邊形是梯形。
分析:這個題的原命題顯然大家很容易證明,即梯形的平行兩個邊的中線把該梯形的面積平分。現在我們證明其逆定理。
證明1:我們引進一個符号,設[X]表示圖X的面積。
因為AE=BE,(ΔAEF]=[ΔBEF]。由于已知[ACFE]=[BDFE],取其差,我們看到[ΔACF]=[ΔBDF]
但這兩個三角形底相同CF=DF,這意味着它們到底的高度也相等,即A和B到CD的距離相等,即AM=BN, 又因為AM∥AN,所以AMNB是矩形,因此AB∥CD。
故四邊形為梯形。
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