瑞士的伯努利家族共有八位世界著名的數學家，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）便是其中之一。1713年，雅各布·伯努利提出了前n個整數的p次幂之和的表達式。他的解是n的（p 1）次多項式，包含的系數就是現在著名的伯努利數（在數學和理論物理的許多領域中出現的分數序列）。

• 圖1：著名的瑞士數學家雅各布·伯努利。

這個求和被稱為馮哈伯公式（ Faulhaber’s formula），其結果被伯努利以“Summae Potestatum”的标題發表，它由下面的表達式給出：

• 式1：前n個正整數的p次幂的和，稱為馮哈伯公式。

• 圖2：德國數學家約翰馮哈伯（1580-1635）。馮哈伯是一個博學多才的人，他在幾個城市的防禦工事上工作過，為軍隊建造過水輪和幾何儀器等。

如果m從0開始，到m= n-1結束，計算會變得更整潔。總和變成：

• 式2

現在考慮所謂的生成函數S(n,t)，它是一個幂級數，以式1和式2中的和為系數：

• 式3：生成函數以式1和式2的和為系數。根據維基百科，生成函數“是一種将無窮數列編碼為幂級數系數的方法”。

将式2代入式3，得到二重和：

• 式4

其中k是一個整數。經過一些代數步驟，我們可以用以下兩個函數的乘積來重新表示式4：

• 式5：将式4改寫為兩個函數的乘積。

現在，S(n,t)的第一個因子可以用指數函數的泰勒展開式簡單地寫成幂級數：

• 式6：指數函數的幂級數展開。

式6左邊減去1，兩邊同時除以x。要寫出S(n,t)的第二項必須引入前面提到的伯努利數。式5中函數 t/(eᵗ-1) 變成：

• 式7：為了寫出式5中S(n,t)的第二個因子，我們引入了伯努利數。

跳過幾個步驟（為了避免混亂），生成函數S(n,t)變成如下複雜的表達式：

下一步是定義所謂的伯努利多項式：

• 式9：伯努利多項式的定義如下圖3所示。

​下圖顯示了不同伯努利數值對應的幾個伯努利多項式的例子。

• 圖3：幾個伯努利數的伯努利多項式。

将生成函數S(n,t)的原始表達式與式8進行比較，利用伯努利多項式的定義，得到：

• 式10：我們要求的前n個整數的p次幂之和的最終表達式

注意，生成函數可以優雅地寫成：

• 式1：用伯努利多項式和伯努利數表示的生成函數的最終表達式

在前一篇文章中偉大的數學家歐拉和他的奇妙發現——關于倒數級數的和，我推導了前5個伯努利數。它們是：

• 式12：前5個伯努利數。

• 圖4：左邊是日本數學家關孝一。右邊是他的著作中的一頁，其中他列出了二項式系數和伯努利數。

​利用式9，我們得到一些伯努利多項式：

• 第一個伯努利多項式。

現在我們有所有需要的工具了。下面是我們所尋找的和的兩個簡單例子，但其他所有情況都可以簡單地得到：

• 式14：前n個整數的p次幂和的兩個簡單例子。

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