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數學排列組合遞推法

生活更新时间:2025-04-04 23:19:17

數學排列組合遞推法?“全錯位排列問題”遞推公式證明，今天小編就來聊一聊關于數學排列組合遞推法?接下來我們就一起去研究一下吧!

數學排列組合遞推法

“全錯位排列問題”遞推公式證明

華圖教育王品樂

問題描述：

位置

……

元素

……

如上表所示，為個元素的原始序列，現打亂其順序，使得每一個元素都不在原位置上（稱為“全錯位排列”），則一共可以産生多少種新的全錯位排列？

簡單枚舉：

記個元素所對應的全錯位排列數為，則

時，，

時，，即

時，，即或

時，會發現随着的增大，相應的全錯位排列數會激增，使用列舉的方法進行求解顯然是不明智的。

遞推公式證明：

假設我們已經解決了到，那麼當序列新增了一個元素，顯然全錯位排列要求不能放在第個位置上，假設放在從1到中的第個位置上，那麼在新序列中第個位置上的元素可能有以下兩種情況：

①第個位置上的元素為

此時和都不在原位置上，因此隻需剩餘的元素都是全錯位排列，新序列就構成了全錯位排列。那麼除去和還剩下個元素，則這個元素一共有種全錯位排列，因為位置的選擇共有種，因此該情況下一共有種全錯位排列。

②第個位置上的元素不是

該種情況相當于，前個元素做好了全錯位排列，共有種。與其中任意元素交換位置，新生成的序列也是一個全錯位排列。這種情況下位置的選擇共有種，因此該情況下一共有種全錯位排列。

綜合以上兩種情況，，顯然這個公式适用于的情況，而、之前已經列舉得出，代入遞推公式可得、、 ……

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