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那些離奇的求π方法

圓 周 率

從很久很久以前... ...

科學家們就熱衷于計算圓周率，除了用幾何法、數列法、連分數法和現代計算機計算，還有不用繁雜計算的方法——實驗法。

精确性是經典數學的一大特點，但生活中的許多問題，或早期的人們要找到描述它們的精确的數學公式是十分困難的。

祖沖之把圓周率數值準确推進到小數點後七位,成為世界上最早把圈周率數值推算到七位數字的科學家。

法國著名數學家蒲豐，在研究偶然事件的規律時曾發現，有時數學問題無須進行繁雜的運算而隻需通過實驗會有其必然性的結果。

由他設計的投針計算圓周率π的實驗就是應用這種方法的一個著名例子。

蒲豐的投針實驗∶在一張紙上，用尺畫一組相距為d的平行線，用一些粗細均勻長度小于等于d的小針扔到畫了線的紙面上，并記錄着小針與平行線相交的次數。如果投針的次數非常之多，則由扔出的次數，和小針與平行線相交的次數，通過某種運算，便可求出π的近似值

為什麼從一些随意抛針實驗中，

會與圓周率π發生聯系呢?

我們先看一個假想的試驗∶

找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑等于二平行線間的距離d。那麼，無論怎樣扔下圓圈，都會和平行線有兩個公共點（或者是兩個交點或者是兩個切點），如下圖。

如果扔n次，

則圓圈與平行線相交2n個點次。

如果把圓圈拉直成一根針，

則針長EF=πd。

這樣，針EF與平行線相交的方式有∶4個交點，3個交點，2個交點，1個交點，0個交點，如上圖。

圓圈和直線的長度同為πd，

根據機會均等的原理，

當它們投擲次數較多，且相等時，

兩者與平行線組交點的總數期望也是一樣的。

也就是說，

當長為πd的鐵絲扔下n次時，

與平行線相交的交點

總數應大緻為2n。

因而，将針EF扔n次，

它與平行線相交是2n個點次。

(經過數千次重複試驗，發現針EF與平行線相交點的次數m将随着試驗次數增大，而逐漸向2n逼近。)

讨論鐵絲長為L的情形。

發現當投擲次數n增大的時候，

這種鐵絲跟平行線相交的最大的交點總數m應當與長度L成正比，

因而有：m=kL，式中k是比例系數。

注意到L=πd時的特殊情形，有m=2n。

于是求得,

由上可知，m/n=2L/πd，

如果我們取L=d/2，可得

π=n/m=投扔總次數/碰線總次數。

這個試驗的設計和公式，首先是由法國博物學家蒲豐在論文"或然性算術嘗試"中提出的。

1901年，意大利的拉茲裡尼，使用長為L=0.83d的針，投扔了3408次，求出π的近似值3.1415929，準确到小數點後6位。這不但為圓周率的研究開辟了一條新路，并逐漸發展成為一種新的數學方法———統計試驗法（又叫"蒙特卡羅方法"）。現在這個工作盡可全部交由計算機，在幾秒鐘之内便可完成。　

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