内切圓弧連接方法?作者 | 劉洋洲來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝，下面我們就來說一說關于内切圓弧連接方法?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

内切圓弧連接方法

作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

小圓含在大圓内，是否存在一個三角形，大圓是它的外接圓，小圓是它的内切圓？大圓和小圓需要滿足哪些條件，才存在這樣的三角形？或者，什麼情況下這樣的三角形不存在？

我們約定，将滿足該條件的三角形稱為「恰當三角形」。

我們通常情況下是已知三角形，求外接圓和内切圓，而這個問題剛好相反。如果粗暴地使用解析幾何直接聯立方程去求解，所涉及的未知數太多，計算量将十分恐怖，所以我們需要借助一些幾何知識幫助我們去化繁為簡。

關鍵方程

我首先注意到一個等式：分别利用外接圓、内切圓半徑和計算恰當三角形面積。設滿足條件的三角形三邊記為，其周長記為，于是有

其中表示對三角形三邊求和，表示外接圓圓心到邊的「有向距離」。什麼是有向？觀察下圖，我們發現當為鈍角三角形時，有一條會完全在三角形區域外，此時我們規定它的符号為負，于是如上公式仍然成立。

我們對上面的公式進行變形

我們将這個方程稱為「關鍵方程」，注意到事實上就是外接圓的弦心距，它給出了弦心距和内切圓半徑之間需要滿足的關系。

分析

通過分析關鍵方程，我們可以得到簡單的結論：

❝

「定理1」除非，否則必存在

.❞

「證：」是三角形三邊邊長，即非負。顯然，是關鍵方程的特解，此時恰當三角形為等邊三角形。因等邊三角形三線合一，所以大圓和小圓是同心圓，此時退化為特殊情況。

除以上特殊情況，關鍵方程想要成立，其三個系數

必存在異号。

為接下來方便讨論，我們不妨設。

注意是可能的。也許讀者會對前文的“有向距離”的規定有些奇怪，我們這裡給出簡單的幾何解釋：事實上是外接圓的弦長所對應的弦心距，我們可以這樣定義：

其中表示弦長所對應的圓心角，且，這樣一來，就可以理解為什麼可以取負值了。

弦心距

所以我們接下來需要将注意力集中在上。

的計算本身是沒有難度的，利用勾股定理可以直接計算出來：

但是這個結論并不能帶給我們更多信息，這個時候才輪到解析幾何出手了。

建系如下圖：

設内切圓圓心坐标，，過内切圓上一點的切線是三角形可能的（未必能構成三角形）邊長所在直線，下面我們列出方程計算一下。

第二個方程是圓上一點的切線公式。接着我們利用點到直線的距離公式

計算弦心距，恰好我們将外接圓的圓心設為原點。

于是

其中是給定向量，而是定長向量。可見是否比大取決于兩個向量的夾角：

❝

「定理2」當和夾角是銳角時，； 當兩者夾角是鈍角時，； 當兩者夾角是直角時，. 即，

❞

❝

「推論」當和共線時，恰當三角形為等腰三角形。

❞

「證：」如上圖。若與共線，于是三點共線。由垂徑定理立即可知，所在的直線垂直平分弦與切點，最後利用切線長定理等量傳遞，立即可知恰當三角形另外兩邊相等。

有趣的是，當恰當三角形是等腰的情況下，其底邊達到了最值，從公式看這是顯然的，

代入得，

最後我們将與的關系帶入，即可得到如下估計：

❝

「定理3」

❞

通過觀察上圖，我們發現一旦恰當三角形存在，則在内切圓上任意一點做切線，都可以得到新的恰當三角形。我們暫時不加證明地利用這一性質，從而考慮特殊位置，最後得到恰當三角形存在充要條件。

建系如下圖：

因，可得點的坐标為。容易求切點所在的弦：

于是得到弦端點的坐标為。如果另外兩條分别過的切線交點，剛好落在外接圓上，則為恰當三角形，由此我們可以得到恰當三角形存在的充要條件。那麼如何判定是否落在外接圓上呢？

下圖是判定思路：如果點，直線是否與小圓相切，通過聯立兩者方程，求判别式是否等于即可。

容易求斜率為（此時），

聯立方程

代入得

得到判别式

❝

「定理4」恰當三角形存在的充要條件為：

❞

我們可以驗證一下特殊情況。例如當小圓位于大圓中心時，此時有，代入方程：

解得，即恰當三角形為等邊三角形的情形。

關于恰當三角形的内容還有很多，敬請期待下一期的内容。

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