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用對角線互相平分證明平行四邊形

生活更新时间:2024-11-26 11:31:03

青山不移，流雲來去，過往雲煙，如如不動。

不若埋首煙波，一飨浮生。

人情事端，自是不适，何妨挂帆高詠，任由葉落紛紛。

人生如此，浮生如斯。

1 圍觀：一葉障目，抑或胸有成竹

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）1

平行四邊形在解析幾何中司空見慣，無非是涉及邊長、對角線、周長、面積等基本量。除此之外，探索平行四邊形是否為菱形亦是常見考法。

驗證對角線的平方和為定值，可先通過特殊位置求得定值，然後再推證對一般情況成立，也可直接推理求得定值。

2 套路：手足無措，抑或從容不迫

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）2

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）3

3 腦洞：浮光掠影，抑或醍醐灌頂

本題看似複雜，實則不堪一擊，原因在于平行四邊形較為特殊，具有良好的性質。

法1，設對角線的方程。聯立橢圓求得弦長與中點，進而求得對角線平方和。注意讨論斜率不存在的情況。

法2，設一邊的方程。聯立橢圓求得兩鄰邊的長度，借助平行四邊形的性質求得對角線平方和。

單就本題，法2絕對驚豔。

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）4

上述定理中，OA與OB的斜率之積為定值，這個定值并非偶然。如果你一直在關注，一定會發現OA與OB互為“共轭直徑”。

當然，法2已經很好了，但個人仍舊對極坐标一往而深。

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）5

更多關于四邊形的問題，可參考“第一百五十三夜”。

你若不來，所有精彩隻能用寂寞去掩蓋。

4 操作：行同陌路，抑或一見如故

用對角線互相平分證明平行四邊形（平行四邊形對角線平方和）6

興來一揮百紙盡，駿馬倏忽踏九州。

我書意造本無法，點畫信手煩推求。

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