1．離散型随機變量的分布列

(1)随着試驗結果變化而變化的變量叫做随機變量．所有取值可以一一列出的随機變量叫做離散型随機變量．

(2)一般地，若離散型随機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表

為離散型随機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.

離散型随機變量在某一範圍内取值的概率等于它取這個範圍内各個值的概率之和．

2．兩點分布

如果随機變量X的分布列為

其中0<p<1，則稱離散型随機變量X服從兩點分布．其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．

3．超幾何分布

一般地，設有N件産品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件産品，用X表示取出的n件産品中次品的件數，那麼

P(X＝k)＝N(n)(k＝0,1,2，…，m)．即

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一個随機變量X的分布列具有上表的形式，則稱随機變量X服從超幾何分布．

1．條件概率及其性質

(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率，用符号P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)＝P(A)(P(AB))(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數，則P(B|A)＝n(A)(n(AB)).

(2)條件概率具有的性質

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是兩個互斥事件，

則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互獨立事件

(1)對于事件A，B，若事件A的發生與事件B的發生互不影響，則稱事件A，B是相互獨立事件．

(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨立．

3．獨立重複試驗與二項分布

(1)獨立重複試驗是指在相同條件下可重複進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗隻有兩種結果，即要麼發生，要麼不發生，且任何一次試驗中發生的概率都是一樣的．

(2)在n次獨立重複試驗中，用X表示事件A發生的次數．設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(X＝k)＝Cn(k)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱随機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．

1．均值

一般地，若離散型随機變量X的分布列為：

則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為随機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型随機變量取值的平均水平．

(1)期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.

(2)E(X)是一個實數，由X的分布列唯一确定，即作為随機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀态.

(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即随機變量取值與相應概率分别相乘後相加.

2．方差

設離散型随機變量X的分布列為：

則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝ (n)(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均，刻畫了随機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為随機變量X的方差，并稱其算術平方根為随機變量X的标準差．

(1)随機變量的方差與标準差都反映了随機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.D(X)越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.

(2)方差也是一個常數，它不具有随機性，方差的值一定是非負.

3．兩個特殊分布的期望與方差

4．正态分布

(1)正态曲線的特點

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；

③曲線在x＝μ處達到峰值2π(1)；

④曲線與x軸之間的面積為1；

⑤當σ一定時，曲線的位置由μ确定，曲線随着μ的變化而沿x軸平移；

⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ确定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．

(2)正态分布的三個常用數據

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.

[常用結論]

若Y＝aX＋b，其中a，b是常數，X是随機變量，則

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數；

(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；

(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；

(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；

(5)若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；

(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分别為：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

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