首先我們來看四個求和公式：
那麼我們能從前面三個公式找出哪些規律來呢？
1. 自然數的m次方求和，公式是一個m 1次方的多項式；
2. 多項式的最高次項系數為1/(m 1)；
3. 次高項（x^m）的系數為1/2。
再也看不出其它規律了。
根據上述規律，我們可以推推斷一下自然數的四次方和形式如下：
那麼真實情況如何呢？
果然如此，我們猜對了！！！
我們不是數學家，隻能到這一步了，但帶"家"的人不會就此止步。
雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654－1705)，牛頓同時代的另一位神仙級"家"人物，受牛頓二項式定理的啟發，終于通過锲而不舍的連蒙帶猜，徹底地解決了這個問題，即對任意自然數m，他找到了求
的通項公式。
牛頓也是連蒙帶猜，找到了二項式展開的通項公式：
牛頓二項式定理
再結合楊輝三角數，可以直接出展開式，如
給我們帶來了巨大的方便性。
如下表格中的Bi即為伯努利數。
伯努利數與
的求和公式的系數有如下關系：
令p=4，我們得到
與前面的結論一緻。
令p=20，得到
有了伯努利常數，我們就可以直接寫出前若幹項自然數的n次幂的和了。是不是很方便？
但是，伯努利數是如何求得的呢？
就是将如下公式左邊用泰勒級數展開，得到右邊的式子，其中的系數中的Bn即為伯努利數。
可以求出B0, B1, B2, B3,…。
由于上式中求更多的展開式比較困難，人們得到了一種更方便的求伯努利的遞推方法：
另外，伯努利數也可以通過黎曼Zeta函數求得：
根據伯努利數生成的如下多項式
為伯努利多項式。其中Bk為伯努利數。
對應的坐标曲線如下圖所示：
據說，随着m越來越多，Bm(x)長得越來越像正弦函數。
伯努利多項式有廣泛的應用（如黎曼Zeta函數），這裡就不做介紹了。
Jacob Bernoulli
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