避開切線判定的小陷阱關鍵在于深刻理解直線與圓的位置關系

在直線與圓的三種位置關系中，直線與圓相切經常出現在壓軸題的證明過程中，由于平時教學過程中，相關例題和習題的難度普遍較低，許多學生便認為自己“掌握”了切線的判定，殊不知，題目文字描述稍加變動，理解不夠深的就容易出現偏差，落入題目設置的陷阱，恰恰那些自以為掌握了的學生，連錯誤都發現不了，更談不上正确解答，甚至在老師講完題目，腦子裡都沒回過神。

題目

如圖，抛物線y=(x m)² m與直線y=-x交于E、C兩點(點E在點C左邊)，抛物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左邊)，△ABC的外接圓⊙H與直線y=-x交于點D。

(1)若抛物線與y軸交點為(0,2)，求m的值；

(2)求證：⊙H與直線y=1相切；

(3)若DE=2EC，求⊙H的半徑。

解析：

(1)從來感覺第1小題就是送分題，貌似這次也是，且慢！前方有坑。基本操作是将點坐标(0,2)代入二次函數解析式，然後得到一個于關于m的一元二次方程，解得m1=1,m2=-2，到底取哪個？再次觀察題目條件和圖形，接下來兩條路可選，第一，看抛物線，要想它與x有兩個交點，由于它本身開口向上，因此頂點必須在x軸下方，二次函數本身就給的是頂點式，可直接得到頂點坐标(-m,m)，所以判斷m=-2；第二，抛物線與x軸有兩個交點，還能聯想到判别式，将函數解析式化成一般式，求△同樣達到目的。

(2)判斷直線與圓的位置關系，按定義，分别求出圓心到直線的距離d和半徑r，然後比較二者大小即可。基于這個思路，我們可作出抛物線的對稱軸，猜測點C、H應該在這條直線上。下面來驗證，如下圖：

輔助線的作法很關鍵，但先要解決一個問題，即點C是否為抛物線頂點，題目條件中隻告知點C是直線與抛物線的交點，由這句話出發，聯立方程(x m)² m=-x，整理得x² (2m 1)x m(m 1)=0，解得x1=-m，x2=-m-1，由點E、C的位置關系可知兩點坐标分别為E(-m-1,m 1)，C(-m,m)，于是确定點C為抛物線頂點。現在過點C作CF⊥AB，根據作法，CF一定是抛物線對稱軸，△ABC為等腰三角形，接着解決點H是否在CF上的問題，點H為圓心，點A、B在圓上，因此點H到A、B兩點的距離相等，即點H在AB的垂直平分線上，即H在CF上，CF與y=1交于點F，此時圓心到直線y=1的距離即為HF，半徑為CH，現在目标明确，證明CH=HF即可。

設CH=AH=r，HF=d，由點C坐标先表示CF=1-m，則d=1-m-r

，GH=-m-r，抛物線與x軸兩個交點A、B坐标可表示，并求得AB=2√-m，于是在Rt△AGH中，由勾股定理列式AH²=GH² AG²，将上述表示出的結果代入，得r²=(-m-r)² (√-m)²，整理得m=1-2r，再代入距離d中，得d=1-(1-2r)-r=r，由此可知⊙H與直線y=1相切。

(3)直線y=-x的特殊之處在于，它與抛物線對稱軸的夾角為45°，于是可以構造出等腰直角三角形，例如△CDF，而在上一小題中，我們可知CF為直徑，即點H為CF中點，于是DH為其斜邊上的中線，又是三線合一，因此DH⊥CF，上述準備工作完成後，我們來看條件DE=2EC，在第2小題中，我們已經獲得E點和C點坐标，于是過點E也向CF作垂線EM，如下圖：

現在我們得到等腰直角△CEM和等腰直角△CDH，由縱坐标之差為1得到CM=1，于是CE=√2，DE=2√2，所以CD=3√2，最後得到CH=3，即半徑為3.

解題反思

關于直線與圓相切的判定，其實最根本的莫過于用定義來判定，即d=r，在題目圖中并沒有給出點F的前提下，學生思維很容易陷入那兒就有一個交點，更進一步那個交點就是切點，先入為主地把點F給确定了，因此很多錯誤在于“連接CF，使CF與y=1垂直”，或者“作y=1的垂線CF，且點F剛好在圓上”，呈現出思維上的混亂。而本題中，還存在更多幹擾，例如點C是否為頂點，圓心H是否在對稱軸上等等，一個不留神，這些陷阱便會導緻解題錯誤。因此對于平時教學來講，概念和定義的教學一定要讓學生深刻理解，經曆概念形成的過程，才能真正理解。在這種課型中，避免“短平快”式的教學方式。

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