一、質數、倍數、倍數、約數、整除問題

1、質數（素數）

① 隻有1和它本身兩個約數的整數稱為質數；

② 100以内質數共25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；

③ 最小的偶合數是4，最小的奇合數是9；

④ 0、1既不是質數也不是合數。

⑤ 每一個合數分解質因數形式是唯一的。

⑥ 公因數隻有1的兩個非零自然數，叫做互質數。

2、倍數、約數性質

① 一個數最小的倍數是這個數本身，沒有最大的倍數；

② “0”沒有約數和倍數，一般認為“1”隻有約數“1”；

③ 假如幾個數都是某一個數的倍數，那麼這幾個數的組合也是某個數的倍數。

例如：26、39是13的倍數，則2639也是13的倍數。

④ 一般的數字的約數的個數都是偶數個，但是平方數的約數個數是奇數個。

例如：“9”有3個約數（1、3、9），“16”有5個約數（1、二、4、8、16）。

⑤ 約數和倍數必須強調出是哪個數字的約數和倍數。

二、公約數、公倍數

1、最大公約數：公有質因數的乘積。通常用“（ ）”表示。

2、最小公倍數：公有質因數和獨有公因數的連乘積。用“[ ]”表示。

3、兩個自然數的最小公約數和最大公倍數的乘積=兩個自然數的乘積

4、如果兩個自然數是互質數，那麼它們的最大公約數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積。例如8和9，它們是互質數，所以（8，9）=1，[8，9]=72。

5、如果兩個自然數中，較大數是較小數的倍數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數，較大數就是這兩個數的最小公倍數。例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。

6、兩個整數分别除以它們的最大公約數，所得的商是互質數。例如8和14分别除以它們的最大公約數2，所得的商分别為4和7，那麼4和7是互質數。

▲7、根據互質數的意義，相鄰的自然數是互質數，互質數的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。

8、解題思路和方法

（1）求公約數和公倍數一般采用短除法。

（2）對于比較大的兩個數求最大公約數（最大公約數一般大于11），也可以采用輾轉相除法。輾轉相除法步驟：用大數（被除數）除以小數（除數）得到餘數，所求最大公約數就是除數與餘數的最大公約數，再次相除，依次類推，直到餘數為0，最後一個除數既是所求的最大公約數。注意：用輾轉相除法求幾個數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個數的最大公約數，再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數，依次求下去，直到最後一個數為止。最後所得的那個最大公約數，就是所有這些數的最大公約數。

例：求319、377的最大公約數，即求（319，377）。

解：利用輾轉相除法

（319,377）=（377,319）

377÷319=1餘58 （377,319）=（319,58）

319÷58=5餘29 （319,58）=（58,29）

58÷29=2餘0 （58,29）=29

所以（319,377）=29

三、和差、和倍

1、和差：已知兩個數的和與差，求這兩個數各是多少，這類應用題叫和差問題（已知順水和逆水速度求船速和水速）。

數量關系：大數=（和 差）÷2；小數=（和-差）÷2

2、和倍：有兩個數的和及大數是小數的幾倍（或者小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

數量關系：兩個數的和÷（幾倍 1）=較小的數；較小的數×倍數=較大的數

四、差倍、倍比

1、差倍：有兩個數的差及大數是小數的幾倍（或者小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

數量關系：兩個數的差÷（幾倍-1）=較小的數；較小的數×倍數=較大的數

2、倍比：有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若幹倍，先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。

數量關系：總量÷一個數量=倍數；另一個數量×倍數=另一總量

五、方程求解問題

1、定義：把應用題中的未知數用字母

代替，根據等量關系列出含有未知數的等式（方程），通過解這個方程而得到的答案，這個過程叫做列方程解應用題。

2、數量關系：方程等号兩邊數量相等。

3、解題過程可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法

① 審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什麼，問題中的等量關系是什麼。

② 設：把應用題中的未知數設為

。

③ 列：根據所設的未知數和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。

④ 解：求出所列方程的解。

⑤ 驗：檢驗方程的解是否正确，是否符合題意。

⑥ 答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

在列方程解應用題是，一般設未知數、列方程、解方程、答語。必須檢驗。

注意：設未知數時要在X後面寫上單位名稱，在方程中已知數和未知數都不帶單位名稱，求出的X值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。

六、年齡問題

解題關鍵：緊緊抓住兩人的年齡差不變，兩人年齡之間的倍數關系随着年齡的增長在發生變化。

七、雞兔同籠

1、一般用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞。如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題解決。

2、如果能用方程

，

二元一次方程求解，最好使用方程求解。

八、相遇問題

1、“相遇”廣義上講，隻要兩人在同一地點就算相遇。分兩種情況：（1）迎面相遇（即我們平時說的相遇問題）（2）追及相遇（即我們平時所說的追及問題）。一般題目說的相遇，我們默認是迎面相遇，若題目說隻要兩人在同一地點就算作一次相遇，那麼兩種情況都要算。

2、數量關系：

① 總路程=（甲速 乙速）×相遇時間

② 甲乙兩人從同一起點出發往返運動多次相遇問題，每迎面相遇一次，兩人一起走了2個全程。

③ 甲乙兩人從兩端點出發往返運動多次相遇問題，第一次迎面相遇時，兩人走了1個全程，之後沒迎面相遇一次，兩人一起走了2個全程。

3、柳卡圖（了解）：柳卡圖也叫折線圖，解決複雜的行程問題（多次相遇問題）的有效方法。折線圖往往能夠清晰的體現運動過程中的“相遇次數”，“相遇地點”，以及“由相遇的地點求出全程”。使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完全程所用的時間是多少。

九、追及問題

數量關系：

① 追及時間=追及路程÷（快速-慢速）

② 追及路程=（快速-乙速）×追及時間

十、列車問題

1、火車過橋：過橋時間=（車長 橋長）÷車速

2、火車追及：追及時間=（甲車長 乙車長 距離）÷（甲車速-乙車速）

3、火車相遇：相遇時間=（甲車長 乙車長 距離）÷（甲車速 乙車速）

十一、行船問題

1、定義：行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船隻本身航行的速度，也就是船隻在靜水中航行的速度；水速是水流的速度；船隻順水航行的速度（順水速度）是船速和水速之和；船隻逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差。

2、數量關系：

① 船速=（順水速度 逆水速度）÷2

② 水速=（順水速度-逆水速度）÷2

十二、盈虧問題

1、定義：根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，依次有餘（盈），依次不足（虧），或兩次都有餘，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。

2、數量關系：

①兩次分配中，如果一次盈一次虧，則有：

參加分配總人數=（盈 虧）÷分配差

②兩次分配都是盈或都是虧，則有：

參加分配總人數=（大盈-小盈）÷分配差

參加分配總人數=（大虧-小虧）÷分配差

十三、工程問題

1、定義：工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中常常不給出工作量的具體數量，隻提出“一項工程”、“一塊土地”、“一件工作”等，在解題時候，常常用單位“1”表示工作總量。

2、數量關系：解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間内完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間關系列出算式。

① 工作量=工作效率×工作時間

② 工作時間=工作量÷工作效率

③ 工作時間=總工作量÷（甲工作效率 乙工作效率）

十四、正反比例問題

1、正比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種輛也随着變化，如果這兩種量中向對應的兩個數的比值，即商一定，那麼這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

2、反比例關系：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。

十五、按比例分配問題

比的前後項相加求出總份數，各部分占總份數的幾分之幾，再用總量乘以幾分之幾即得各部分量的值。

今天的内容分享就到這兒，暫時隻是簡單的将15個闆塊的基礎内容列出來，後面還有15個闆塊，明天會分享給大家。今天的闆塊比較重要的，難懂的就是行程問題，行程問題最主要的就是要求學生在做題的時候動手畫行程圖，學會自己動腦分析整個運功過程，在起初的學生中，畫行程圖是非常重要的，行程圖畫對了，做題時絕對沒有問題的；

其次就是一個解方程，找等量關系，很多學生不會找等量關系，如果家長發現自己的孩子不會找等量關系，就得引起高度重視，思維模式是需要加強訓練的，找等量關系不管是在今後的初中還是高中，乃至大學都是非常重要的一塊兒，找等量關系可能不隻是一個等量，但是，條條大路通羅馬，至少要找到一條路，才能一路走到底。

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