二次函數是初三數學難度高的章節之一，初三月考的壓軸題通常也會以二次函數為考點。

以下對二次函數的基礎知識點進行梳理，并提供一類重點中學難度較大的壓軸題題型解析。

注：由于文本格式原因，用^符号表示指數函數， 例如x^2即為x的平方。

二次函數的常規表達式為y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c （a、b、c為常數，a≠0）；

其圖像為一條抛物線，抛物線相關知識有：

1） a、b、c的符号決定抛物線的大緻位置；

2） 抛物線關于x ＝ － b／2a對稱，抛物線開口方向和大小與a相關；

3） 抛物線頂點坐标表達式為（－b／2a，（4ac－b^2）／4a）；

二次函數的三種常用解析式：

1）一般式： y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c ；

2）頂點式： y ＝ a（x－b）^2 ＋ c ；

3）交點式： y ＝ a（x－x1）（x－x2）；

二次函數的三種解析式通常會用于不同的場景，一般式多用在待定系數法求函數表達式；頂點式對函數作圖和特征值求解有利；交點式通常會結合求解一元二次方程的根。

靈活應用抛物線解題的常用特征點：

1）已知一元二次方程的根，可以使用交點式得到二次函數解析式；

2）已知二次函數圖像上y值相等的兩點（x1，y0）、（x2，y0），可以得到對稱軸表達式x＝（x1 ＋ x2）／2；

無論是月考、半期或期末考試，求動點軌迹都是各大重點中學數學考試中最後一道壓軸題的常見題型。

以下就對一道多次利用二次函數性質求動點軌迹的典型題進行解析，以幫助深入理解二次函數性質和解題方法的靈活應用。

題目：已知二次函數y ＝ x^2 ＋ 2（m＋1）x － m ＋ 1 .

（1） 求解：随着m的變化，該二次函數圖像的頂點P的軌迹表達式。判斷該二次函數圖像的頂點軌迹是否為抛物線？說明理由。

（2） 如果直線y ＝ x ＋ 1經過該二次函數的頂點P，求此時的m值。

解題思路：

（1）因為P點為頂點，首先考慮采用抛物線頂點表達式把P點的坐标表達出來P（x，y）；

（2）理解什麼是P點的軌迹，P點的軌迹即為随着橫坐标x的變化，y的變化曲線；這一步很重要，也是剛接觸二次函數時可能難以想到的拐點。注意此處的P點軌迹的x與原二次函數的x已然不同，它是P點軌迹函數，也就是另外一個函數的自變量域了；

（3）通過（1），P點的橫縱坐标均表示為了關于m的函數，由（2）可知，僅僅知道m和x，y的函數關系不是解題的最終目标，最終目标是P點橫縱坐标x與y的函數關系；那麼此時将m用x代換即可；

（4）求得了P點的軌迹函數，第二問可以通過簡單的求值獲得。

解：

（1） 根據二次函數頂點表達式（－b／2a，（4ac－b^2）／4a），

P點坐标P（x，y）可表達為：

• P（－（m＋1），－ m ＋ 1－（m＋1）^2）

其中：

• x＝－m－1；
• y＝－ m ＋ 1－（m＋1）^2 ；

将m＝－x－1代入y表達式，可得：

• y＝－x^2 ＋ x ＋ 2 ；

由P點的軌迹函數可知，P點的軌迹是抛物線。

（2） 已知直線y ＝ x ＋ 1與P點相交，利用橫坐标和縱坐标分别相等，求解方程：

－x^2 ＋ x ＋ 2 ＝ x ＋ 1

解得： x ＝ ±1；

代入直線方程，可得： y ＝ 0 或 y ＝ 2；

由此可知，P點坐标為（－1，0）或（1 ，2）；

代入二次函數y ＝ x^2 ＋ 2（m＋1）x － m ＋ 1，求解m：

m ＝ 0 或 m ＝ －2。

分析：

此題的關鍵在于理解P點軌迹的含義，将函數的特征點作為分析目标，利用函數系數的不定分析求解特征點的變化軌迹，是函數的常見中高難度題型；

清晰把握函數自變量、應變量及函數表達式的内涵是解此類題型的基礎。函數的簡單表示即為：y ＝ f（x），但x、y和f（x）卻在不同的函數關系中有不同的含義。抓住要表達的關系的本質，才能保持解題中的正确思路。

希望通過對二次函數基本知識點和典型題型解析，對進一步掌握多次利用相關性質，求解動點軌迹函數的題型有所幫助。

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