增根是方程的解嗎?近日看到一則“悖論”這個“悖論”的問題就在于，一開始的(1)式并不存在實數根，如果允許用複數的話，它有兩個虛數根，我來為大家科普一下關于增根是方程的解嗎?以下内容希望對你有幫助!

增根是方程的解嗎

近日看到一則“悖論”。

這個“悖論”的問題就在于，一開始的(1)式并不存在實數根，如果允許用複數的話，它有兩個虛數根。

而到了(5),一般人習慣于實數範圍内考慮問題，覺得1的立方根就是1，但實際上1還有兩個虛立方根:

如果你堅持在實數範圍内看問題，那麼一開始的（1）就無法成立，虛假的前件推出任何後件都是正常的。

而如果你允許虛數，那麼（6）是錯的，1應當是增根予以舍棄，那兩個虛數根就是原方程的根。

講到這裡，問題似乎已經結束了，但等等，為什麼會出現增根？增根是從哪一步冒出來的？

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如果你解分式方程，會給等式兩邊同乘以分母，結果可能會出現讓分母等于0的增根，但以上過程僅僅出現了分母x，而0并不是增根。

如果你解根式方程，由于算術根的非負約定，等式兩邊平方後會有增根，但我們這裡沒有平方，增根1在開立方之前就存在。

我們仔細檢查一下，發現（3）就有增根了。

我們理一理，從（1）到（2），隻要x不為0就是恒等變形。

（3）怎麼得來的呢？可以看作（2）式 -（1）式，這裡就出現了增根。

這麼簡單的加減法怎麼會出現增根呢？因為你丢失了一部分信息。

（1）是一開始的式子，（2）是恒等變形（可以驗算x不為0）。

（3）是由（1）和（2）聯合推出的，所以（3）是（1）與（2）作為整體的必要條件。

但是（3）能不能推出（1）和（2）呢？實際上不能。盡管已知（3）和（2）可以推出（1）,已知（3）和（1）可以推出（2），但不能同時推出兩者。

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抛開原題，我們重新看一個例子：

這次不用除法，我們乘以x，得到

(q2)式-a(q1)式:

可以看到，不管什麼方程，我們都能給它強行引入增根a.

其實我們還可以更幹脆一點。

(q1)式-(q1)式:

這是恒等式，x成為自由變量，瞬間把一切增根都弄進來了。不過由于這個問題過于明顯，一般人不會困惑在此。

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那麼我們平時用加減消元法解普通的n元線性方程組是不是有漏洞呢？

回顧上文，關鍵就在于每一步的推導是否可逆。

比如說：

換成

這裡a,b,c,d都是常數。

顯然，隻要這裡的b,d不為0，那麼是可逆的（無論f,g,h本身是線性的還是非線性的，這個組的替換都是可逆的）。

如果弄成

要确認起來就比較複雜了。

所以穩妥的做法是，每次選擇兩個方程，把其中一個保留，另一個用加減消元之後的代替。

這樣能保證每一步都可逆，你最後的組的解就是原來的組的解，沒有增失。

在實際解線性方程組的過程中，我們可以選定一個變量，稱為主元。

選擇一個讓主元系數不為0的方程，固定不動（如果所有系數都為0那是自由變量。）利用這個方程跟别的方程依次加減消元。

此處x為主元，f被保留，在g1中被消去，g1能由f和g線性表出，且g能由f和g1線性表出，h1等等類似。

為了方便，可以暫時忘掉f，隻考慮：

但應當記得最後得回來處理 f .

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