葛軍，南師附中校長，因在數學上有獨到的研究，所以被人們尊稱為“葛大爺”，我們這裡簡稱“葛大”。

雖然近年來，葛大幾乎不怎麼露面，但葛大每次出現，都會掀起滔天巨浪，大家可能不了解葛大的“數學帝”的稱号是怎麼來的，我們用網傳的一段數據來告訴你：

這是一段在網上流傳較廣的段子：

2003年，葛軍參與江蘇高考數學命題工作，江蘇數學全省平均分68分（滿分150分）。

2010年，葛軍參與江蘇高考數學命題工作。當年江蘇數學平均分83.5分（總分160分）。

2013年，葛軍參與安徽高考數學命題工作，理科平均分隻有55分左右（滿分150分），導緻安徽省一本分數線較2012年狂降54分。

憑借這些廣為流傳的光輝事迹，葛大一戰成名，被推上高考數學第一命題人的寶座，封“數學帝”。

對學生說 葛軍經常對初升高的學生說：“背上你的行囊，行囊裡隻放進三樣寶貝，其他的千萬不要放，輕裝上陣！”有學生不相信：“我學了那麼多，這三樣寶貝能對付嗎？”他回答：“完全能對付，萬變不離其宗。”

這三樣寶貝是：一把劍、一個A、一面鏡，“這三樣東西串起了整個高中數學學習的基本的結構”。

接着葛軍介紹了“三件寶貝”的具體含義：

▲ 一把劍

一把劍是什麼劍？

武俠中的“倚天劍”，劍氣貫長。

它可以變換成數軸；再輕輕一抖動又可以變換成雌雄二劍，構成橫刀立馬之勢，也就是笛卡爾坐标系，用這個“十字架”可以把幾何問題轉換成代數問題，面對許多問題就可以“所向披靡”。

案例1.如圖，正方形ABCD的邊長是12cm，E、F分别是直線BC、直線CD上的動點，當點E在直線BC上運動時，始終保持AE⊥EF．

（1）證明：Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）當點E在邊BC上，BE為多少時，四邊形ABCF的面積等于88；

（3）當點E在直線BC上時，△AEF和△CEF能相似嗎？若不能，說明理由，若能，直接寫出此時BE的長．

【分析】（1）通過餘角的性質可得∠BAE＝∠CEF，即可得結論；

（2）由相似三角形的性質可求 CF=，由三角形的面積公式可求解；

（3）分三種情況讨論，由相似三角形的性質可求解．

【解答】證明：（1）∵AE⊥EF，

∴∠AEB ∠CEF＝90°，

又∵∠BAE ∠AEB＝90°．

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）如圖，設BE＝xcm，則CE＝（12﹣x）cm，

∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴BE＝4cm或BE＝8cm；

（3）△ABE∽△AEF能成立，

如圖1，當點E在線段BC上時，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠C＝90°，

∵AF不平行BC，

∴∠AFE≠∠FEC，

當∠FEC＝∠EAF時，△AEF∽△ECF，

∴∠BAE＝∠FEC＝∠EAF， ，

∵tan∠BAE＝tan∠EAF＝，

∴，∴BE=EC,BE=12-BE

∴BE＝6（cm）；

如圖2，當點E在CB的延長線上時，設AF與BC的交點為H，

當∠CEF＝∠AFE時，△CEF∽△EFA，

∴EH＝HF，∠FAE＝∠HEA，

∴AH＝EH＝HF，

∵BC∥AD，

∴△CFH∽△DFA，

∴ ，

∴CH＝6（cm），

∴BH＝6（cm），

∴AH＝（cm），

∴BE＝EH﹣BH＝（）（cm），

如圖3，當點E在BC的延長線上時，設AF與BC交于點H，

當∠EFC＝∠EAF時，△FCE∽△AEF，

同理可求BE＝（）（cm），

綜上所述：BE的長是6cm或（）cm或（）cm．

在筆者看來，數形結合思想就是數學之利劍，是數學學習中重要的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”。

利用數形結合能使“數”和“形”統一起來。以形助數、以數輔形，可以使許多數學問題變得清晰、直觀。

數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

▲ 一個A

一個A，“萬象大千，愛（諧音A）在處處”。

A在“數”處，它指代的可能是整數、有理數、實數、複數……

A在“式”上，可能表示有理式、無理式、函數式……

A還可以是向量、矩陣，可以是圓、橢圓、雙曲線、抛物線、二次曲線，可以是球、柱、錐、台，或是組合數、概率……

要了解A的概念、出現的形式，在解題中能快速将它們識别出來，同時能用整體性的思維去看待它們。

案例2.小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．

（1）問題發現：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分别是底邊，求證：BD＝CE；

（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數為_____；線段BE與AD之間的數量關系是_____；

（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系并說明理由．

【分析】（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結論；

（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最後用角的差，即可得出結論；

（3）同（2）的方法，即可得出結論．

【解答】：（1）∵△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）∵△ABC和△ADE均是等邊三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵∠CDE＝60°，

∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，

∵∠CED＝60°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，

故答案為：60°，BE＝AD；

（3）AE＝BE 2CM，理由：

同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，

∴∠BEC＝∠ADC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，

∵CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME，

∵∠DCE＝90°，

∴DM＝ME＝CM．

∴AE＝AD DE＝BE 2CM．

在筆者看來，技術分為“道”和“術”兩種，做事的原理和原則是“道”，而做事的具體方法就是“術”。

數學真正的作用，就是讓我們掌握“道”。

因為從曆史的發展來看，所有的“術”都會經曆：獨門秘籍——普及——落伍 的過程。

而隻有掌握了“道”的人才能永遠遊刃有餘。

——當然，我還要再加一句話：隻知道“術”，而不去研究“道”的人，水平會被鎖死在某個“理論極限内”，無法突破。

關于解題之道：實質上就是通過審題來構思、探究解題思路的思維過程。解題必須充分運用條件和盡可能滿足結論的需要，因而，通過審題全面掌握題意了解題的基礎與首要任務。那麼，審題要從哪些方面進行呢？這裡有五點建議：

（1）初步地全面理解題意（理解它的每一個字、詞、每一句話），能清楚地理解全部條件和結論；

（2）準确地作出必要的圖形，包括示意圖；

（3）必要時，要把語言和不宜于直接計算的算式化為能直接計算的算式，把不便于進行數學處理的語言化為便于進行數學處理的語言；

（4）發現比較隐蔽的條件；

（5）根據題目的特征提供的啟示（信息）預見主要步驟或主要原則。

這五項要求，前三項是基本的，後兩項是較高的。

▲ 一面鏡

一面鏡，對鏡自問，一日三省，養批判性、創新性思維能力。

當你拿到一個關于橢圓的問題，能不能靜下心來把它做好，做好之後思考，換成抛物線會怎麼樣？換成雙曲線會怎麼樣？

當你去思考了，你的認識在加深，水平真正得到提高。

也就是常說的“一道題做透了，要遠勝于100道題”。

題目再變，你不再覺得可怕，你可以說“我都看透了”。

案例3.課堂上，老師提出了這樣一個問題：

如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，且AB BD＝AC．

求證：∠ABC＝2∠ACB．

小明的方法是：如圖2，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，構造全等三角形來證明結論．

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那麼還可以用“補短法”通過延長線段AB構造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長AB至F，使BF＝_____，連接DF．

請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；

（2）小芸通過探究，将老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：

如圖3，點D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB BD＝AC．求證：∠ABC＝2∠ACB．

請你解答小芸提出的這個問題；

（3）小東将老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：

如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，點D在邊BC上，AB BD＝AC，那麼AD平分∠BAC．

小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正确的．請你利用圖4對這個命題進行證明．

【分析】（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據三角形的外角性質得到∠ABC＝2∠F，證明△ADF≌△ADC，根據全等三角形的性質證明結論；

（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，證明△ADB≌△ADE，根據全等三角形的性質證明結論；

（3）延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，證明△ADG≌△ADC，根據全等三角形的性質、角平分線的定義證明．

【解答】證明：（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，則∠BDF＝∠F，

∴∠ABC＝∠BDF ∠F＝2∠F，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB BD＝AC，BF＝BD，

∴AF＝AC，

在△ADF和△ADC中，

易證明△ADF≌△ADC（SAS），

∴∠ACB＝∠F，

∴∠ABC＝2∠ACB；

（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，

∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，

∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，

∵AB BD＝AC，AE＝AB，

∴DB＝CE，

在△ADB和△ADE中，

易證明△ADB≌△ADE（SAS），

∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，

∴DE＝CE，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴∠AED＝2∠ECD，

∴∠ABD＝2∠ECD，

（3）如圖4，延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，則∠BDG＝∠AGD，

∴∠ABC＝∠BDG ∠G＝2∠AGD，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠AGD＝∠ACB，

∵AB BD＝AC，BG＝BD，

∴AG＝AC，

∴∠AGC＝∠ACG，

∴∠DGC＝∠DCG，

∴DG＝DC，

在△ADG和△ADC中，

易證明△ADG≌△ADC（SSS），

∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．

正如教育專家錢仲寒說，每節課都是給學生自學的示範。例題教學也不例外，它是通過引導學生挖掘典型題目的潛在教育教學價值，從不同方面不同層次鍛煉思維品質，培養思維能力，以此培養自主學習能力，其作用直接表現為：

① 對新授課中的定義、定理、公式的内涵與外延進行深化，連點成線，線組成面，由面成體，構建立體認知結構網絡；

② 豐富應用含義，增加應用層次；

③ 概括提煉數學方法，進而形成數學思想，增強數學應用意識。

數學如詩，數學“悄然地在你身邊，努力影響你，讓你變得更為明智、理性，富有智慧”。

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